(5,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=0,u_2=38,u_3=-90\\ u_{n+1}=19u_{n-1}-30u_{n-2};n=3,4,...\end{array}$$
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trên và tìm tất cả số hạng của dãy là số chính phương.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đặc trưng: $r^3=19r-30\iff r^3-19r+30=0$. Thử $r=2$: $8-38+30=0$, phân tích $(r-2)(r^2+2r-15)=(r-2)(r-3)(r+5)=0$, nên $r\in \{2;3;-5\}$.

Nghiệm tổng quát: $u_n=A\cdot 2^{n-1}+B\cdot 3^{n-1}+C\cdot (-5{)}^{n-1}$.
Từ hệ:
$$\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\ 2A+3B-5C=38\\ 4A+9B+25C=-90\end{array}$$
Suy ra $B-7C=38$, $5B+21C=-90$ $\Rightarrow$ $C=-5$, $B=3$, $A=2$.
Vậy $\boxed{u_n=2^n+3^n+(-5{)}^n}$ (kiểm tra: $n=1$: $2+3-5=0$; $n=2$: $4+9+25=38$; $n=3$: $8+27-125=-90$; thỏa mãn truy hồi vì mỗi nghiệm riêng thỏa $r^{n+1}=19r^{n-1}-30r^{n-2}$).

Tìm số chính phương:
- Với $n$ lẻ, $n\ge 3$: $u_n=2^n+3^n-5^n<0$ (vì $5^n>3^n+2^n$ với $n\ge 3$), không chính phương. $u_1=0=0^2$ là chính phương.
- Với $n$ chẵn, $n\ge 4$: $u_n=5^n+3^n+2^n$. Vì $n$ chẵn nên $5^n\equiv 1(\mathrm{mod}8)$, $3^n\equiv 1(\mathrm{mod}8)$, và $2^n\equiv 0(\mathrm{mod}8)$ khi $n\ge 3$. Do đó $u_n\equiv 2(\mathrm{mod}8)$, nhưng số chính phương chỉ có dạng $0,1,4(\mathrm{mod}8)$ — vô lý. $n=2$: $u_2=38$ không chính phương.

Kết luận: công thức tổng quát $u_n=2^n+3^n+(-5{)}^n$; số hạng chính phương duy nhất là $u_1=0$.