Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $$\{\begin{array}{l}{a}_0=2027\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n+1},\forall n\in \mathbb{N}.\end{array}$$
a) Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Xét dãy số $(b_n)$ xác định bởi: $b_n=\sum _{i=0}^n\frac{a_i}{a_i+1}$, $\forall n\in \mathbb{N}$. Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ sao cho tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để $\left[b_n\right]=m$ (trong đó, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ biết rằng: Tồn tại các đa thức $f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),g(x)$ với hệ số nguyên, khác hằng (không nhất thiết phân biệt) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) Đa thức $g(x)$ chia hết cho $x^2+1$;
ii) $\prod _{i=1}^n\left(f_i(x{)}^2-1\right)=g(x{)}^2-1,\forall x\in \mathbb{R}$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, $G$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Các đường thẳng $GB$, $GC$ cắt $EF$ tương ứng tại $P$, $Q$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $F$, $D$, $M$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn nội tiếp $(J)$ của tam giác $GPQ$ tiếp xúc với $PQ$ tại $H$. Gọi $N$ là trung điểm $GH$. Chứng minh rằng $JN$ song song với $IG$.

Tìm tất cả các số chính phương trong dãy số $x_0=1,x_1=2,x_{n+1}=4x_n-x_{n-1}\forall n\ge 1$.

Trong bảng $n\times n$ ô vuông xếp 661 quân đôminô sao cho mỗi quân đôminô phủ kín đúng 2 ô vuông $2\times 1$ hoặc $1\times 2$, ngoài ra hai quân đôminô bất kỳ không chạm nhau (không có điểm chung kể cả ô cạnh hay đỉnh). Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$.