Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông có $AB=AC$; $BC=SB=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $M$ của $BC$. Biết số đo của góc nhị diện $[B,SA,C]$ bằng $\alpha$. Tính $\cos \alpha$?

Trong một cuộc thi thể thao, hai vận động viên Bình và An phải cùng lựa chọn xuất phát từ một vị trí $A$ nào đó trên bờ hồ và đích đến là cùng một vị trí $B$ nào đó trên bờ hồ kia. Bình phải chèo thuyền từ vị trí $A$, chèo qua vị trí cắm cờ cố định $M$, rồi chèo thuyền tiếp về vị trí $B$ ($A,M,B$ thẳng hàng). An phải chạy bộ dọc bờ hồ theo đường gấp khúc $AOB$. Biết rằng, $M$ cách bờ hồ ở vị trí $H$ một khoảng $160(m)$ và cách bờ hồ ở vị trí $K$ một khoảng $40(m)$.



Hỏi khi quãng đường $Am$ chạy là ngắn nhất, thì Bình phải chèo thuyền một khoảng bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ngũ giác $ABCDE$ với $A(6;0)$, $B(2;4)$, $C(-2;4)$, $D(-4;0)$ và $E(0;-6)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để điểm $M\left(m;m+4\right)$ nằm trên hình ngũ giác $ABCDE$ (tính cả năm cạnh $AB,BC,CD,DE,EA$)?

Ba số khác nhau tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân. Tích của ba số này bằng:

Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.