Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm $O$. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 đỉnh từ 12 đỉnh là $C_{12}^3=220$. Đếm số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác: gọi $a,b,c$ là số khoảng cách (cạnh nhỏ) giữa ba đỉnh được chọn theo thứ tự trên đường tròn, khi đó $a+b+c=12$ và tam giác không có cạnh của đa giác khi và chỉ khi $a,b,c\ge 2$. Đặt $a^{\prime }=a-1,b^{\prime }=b-1,c^{\prime }=c-1$ thì $a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }=9$ với $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }\ge 1$, số nghiệm là $C_8^2=28$. Mỗi tam giác được đếm với 3 điểm xuất phát trên 12 vị trí, nên số tam giác thỏa mãn là $\frac{28\times 12}{3}=112$ (kiểm tra bằng công thức $\frac{12}{12-3}{C}_9^3=112$). Vậy xác suất cần tìm là $\frac{112}{220}=\frac{28}{55}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 11: C).