Câu 6. Cho lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$; $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(B^{\prime }MD)$ và $(ABCD)$. Tính $\cos \phi$.

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $BE$ và $CF$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tìm tọa độ đỉnh $A$ biết đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D(0;2)$, đường thẳng $MH$ có phương trình $4x+y-8=0$ và đỉnh $A(a;b)$ thuộc đường thẳng $d:x-2y+2=0$. Tính $2a-b$.

Câu 8. Khu vui chơi có mở một cửa hàng sách và đang cần tuyển nhân viên trông coi cửa hàng. Để tuyển nhân viên đòi hỏi có khả năng tư duy và suy luận tốt; Chủ cửa hàng đưa ra thử thách như sau: Bộ truyện tranh thám tử Kenichi gồm $44$ tập đang được sắp xếp từ $1$ tới $44$ trên giá (giả sử đang tính từ trái qua phải và tất cả cuốn truyện được sắp xếp cùng chiều). Yêu cầu hãy thực hiện việc sắp xếp các tập truyện theo trình tự ngược lại từ $44$ tới $1$ theo quy tắc: đổi chỗ $2$ tập truyện đang xếp liên tiếp sẽ bị tính $1$ điểm; đổi chỗ $2$ tập truyện mà ở giữa chúng có $3$ tập khác thì không bị tính điểm. Bạn An muốn ứng tuyển vào nhân viên cửa hàng. Hỏi điểm số của An nhỏ nhất là bao nhiêu điểm để thực hiện được thử thách trên.

Câu 9. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được $5$ ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng $4$ ván và người chơi thứ hai mới thắng $2$ ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng.

Câu 10. Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(1;+\infty )$ và ${\log }_{\sqrt{a}}^{2}b+{\log }_{b}c\cdot {\log }_b\left(\frac{c^2}{b}\right)+9{\log }_{a}c=4{\log }_{a}b$. Tính giá trị của biểu thức ${\log }_{a}b+{\log }_b{c}^2$.

Câu 11. Gọi $M;m$ lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$. Tính tổng $M+m$.

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $3a$, $SA=SD=3a$, $SB=SC=3a\sqrt{3}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SD$, điểm $P$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AP=2a$. Tính theo $a$ diện tích đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ và các mặt của hình chóp $S.ABCD$.

Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều, $AD=2$, $AB=BC=CD=1$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$; $\phi$ góc phẳng của nhị diện $[S,BM,D]$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $BM$ bằng $\frac{3}{4}$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)={\log }_2(x^2-5x-6)$.

Câu 3. Khi bắt đầu đi làm, anh T nhận được số tiền lương bậc một là $10$ triệu đồng/tháng. Cứ sau $24$ tháng anh T được tăng $1$ bậc lương (tiền lương một tháng bậc sau hơn tiền lương một tháng bậc trước là $8\%$). Hàng tháng anh T trích ra $20\%$ lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất $0,2\%$/tháng theo hình thức lãi kép (lãi kép tức là nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được cộng vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo). Biết rằng anh T nhận lương vào đầu tháng và số tiền gửi tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.

Câu 4. Một người dùng ba loại nguyên liệu $A,B,C$ để sản xuất ra hai loại sản phẩm $P$ và $Q$. Để sản xuất $1\text{ kg}$ mỗi loại sản phẩm $P$ hoặc $Q$ phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra $1\text{ kg}$ sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:



Biết $1\text{ kg}$ sản phẩm $P$ lãi $3$ triệu đồng và $1\text{ kg}$ sản phẩm $Q$ lãi $5$ triệu đồng. Đặt $x$ là số $\text{kg}$ sản phẩm $P$ và $y$ là số $\text{kg}$ sản phẩm $Q$ cần sản xuất.

Câu 1. Với các số thực dương $x,y,z$ thay đổi sao cho ${\log }_2\left(\frac{x+2y+2z}{x^2+y^2+z^2}\right)=x(x-4)+y(y-8)+z(z-8)-2$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{x^2+y^2+z^2-4x-7y-11z+8}{6x+5y-86}$ theo thứ tự là $M$ và $m$. Tính $M+m$.

Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, biết $B{C}^{\prime }$ tạo với $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ một góc $30^{\circ }$ và $d(M,(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }))=\sqrt{\frac{6}{11}}$ (với $M$ là trung điểm $AC$). Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tập hợp $T$ gồm các điểm có tọa độ là số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $4$. Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau thì xác suất để chọn được một điểm từ tập $T$ mà khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ không vượt quá $2$ là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 4. Người ta dùng các que diêm để xếp thành các hình tam giác đều, biết độ dài cạnh của tam giác đều ở hình thứ $n+1$ gấp đôi độ dài cạnh của tam giác đều ở hình thứ $n$ (với $n$ là số nguyên dương) (tham khảo hình vẽ).



Để xếp hình thứ $15$ thì cần dùng $a$ que diêm. Số ước nguyên dương của $a$ là bao nhiêu?

Câu 5. Cho tập $E=\{1,2,3,4,5\}$. Hai bạn An và Bình mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên, mỗi số gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau từ tập $E$. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có mặt chữ số $5$.

Câu 6. Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với $(ABCD)\parallel (EFMH),CK\parallel DH$. Khối gỗ bị hỏng một góc (như hình vẽ).



Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $K$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của $AE,BF$ với mặt phẳng $(R)$. Biết $DH=150\text{ cm},CK=60\text{ cm}$. Tính $k=\frac{FJ}{BF}$.