Câu 6. Cho lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$; $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(B^{\prime }MD)$ và $(ABCD)$. Tính $\cos \phi$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0412, trang 5), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án A.

Hình chiếu vuông góc của $\Delta B^{\prime }MD$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $\Delta ABD$ có diện tích $S_{\Delta ABD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $BD=a$, $MD=M{B}^{\prime }=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$, $B^{\prime }D=\sqrt{B{D}^2+B{B}^{\prime 2}}=a\sqrt{3}$.
Tam giác $B^{\prime }MD$ vuông cân tại $M$ (vì $M{D}^2+M{B}^{\prime 2}=3a^2=B^{\prime }{D}^2$) nên $S_{\Delta B^{\prime }MD}=\frac{1}{2}MD\cdot M{B}^{\prime }=\frac{3a^2}{4}$.
Vậy $\cos \phi =\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta B^{\prime }MD}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.