Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,\widehat{BAC}=135^{\circ }$. Trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại $A$ lấy điểm $S$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SC$ lần lượt là $M,N$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AMN)$ bằng

Gọi $AD$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ta có $DC\perp AC,DB\perp AB$. Do $SA\perp (ABC)$ nên $DC\perp (SAC)\Rightarrow DC\perp AN$. Mặt khác $SC\perp AN$ nên $AN\perp (SCD)\Rightarrow AN\perp SD$. Tương tự $AM\perp SD$. Suy ra $SD\perp (AMN)$. Đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ là $SA$. Do đó góc giữa $(ABC)$ và $(AMN)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $SD$, tức là góc $\widehat{ASD}$. Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{BC}{2\sin 135^{\circ }}=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow AD=2R=a\sqrt{2}$. Trong tam giác vuông $SAD$: $SA=AD=a\sqrt{2}$, do đó tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{ASD}=45^{\circ }$.


Chọn A.