(7,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $(u_n-u_{n-1})(u_n-1)(u_{n-1}+1)=u_n{u}_{n-1}$ và $0<u_n\le u_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$.

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.

b) Đặt $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$. Chứng minh rằng, $\ln \left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln (n+1)$ với mọi $n\ge 1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $n\ge 2$, do $0<u_n\le u_{n-1}\le \cdots \le u_1=\frac{1}{2}<1$ nên $0<u_n<1$. Khai triển phương trình $(u_n-u_{n-1})(u_n-1)(u_{n-1}+1)=u_n{u}_{n-1}$ thành phương trình bậc hai theo $u_n$: $$(u_{n-1}+1)u_n^2-(u_{n-1}^2+3u_{n-1}+1)u_n+u_{n-1}(u_{n-1}+1)=0.$$ Thử trực tiếp thấy $u_n=\frac{u_{n-1}}{1+u_{n-1}}$ thỏa mãn. Theo Vi-ét, tích hai nghiệm bằng $\frac{u_{n-1}(u_{n-1}+1)}{u_{n-1}+1}=u_{n-1}$, nên nghiệm còn lại là $\frac{u_{n-1}}{u_{n-1}/(1+u_{n-1})}=1+u_{n-1}>1$, loại vì $0<u_n\le u_{n-1}<1$. Vậy $u_n=\frac{u_{n-1}}{1+u_{n-1}}$, tức $\frac{1}{u_n}=\frac{1}{u_{n-1}}+1$. Dãy $\left(\frac{1}{u_n}\right)$ là cấp số cộng công sai $1$ với số hạng đầu $\frac{1}{u_1}=2$, suy ra $\frac{1}{u_n}=n+1$, tức $u_n=\frac{1}{n+1}$ với mọi $n\ge 1$ (thay lại vào đề bài, thỏa mãn).

b) Với $u_n=\frac{1}{n+1}$, ta có $S_n={\sum }_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}$.

• Đánh giá trên: với $x\in (k-1,k)$, $k\ge 2$, ta có $\frac{1}{k}<\frac{1}{x}$, do đó $\frac{1}{k}<{\int }_{k-1}^k\frac{dx}{x}=\ln \frac{k}{k-1}$. Cộng lại: $$S_n<\sum _{k=2}^{n+1}\ln \frac{k}{k-1}=\ln (n+1).$$

• Đánh giá dưới: bất đẳng thức $\ln (1+t)<t$ với $t>0$ cho $\ln \frac{k+1}{k}<\frac{1}{k}$ với mọi $k\ge 1$. Cộng lại: $$S_n>\sum _{k=2}^{n+1}\ln \frac{k+1}{k}=\ln \frac{n+2}{2}=\ln \left(\frac{n}{2}+1\right).$$

Vậy $\ln \left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln (n+1)$ với mọi $n\ge 1$. Đpcm.