(7,0 điểm) Cho $a$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố và $A=a^{p-1}+a^{p-2}+\cdots +a+1$.

a) Chứng minh rằng, nếu $d$ là ước nguyên tố của $A$ thì $p=d$ hoặc $p\mid (d-1)$.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ $p$ sao cho tồn tại $a$ để $A+1$ là một lũy thừa bậc 5 của một số nguyên dương.

Câu 5 (3,0 điểm). Giả sử $\{x_1;x_2;...;x_{78}\}$ là một hoán vị của tập $A=\{1976;1977;...;2053\}$.
a) Tìm dư khi chia $a=x_1{x}_2...x_{78}$ cho 79.
b) Chứng minh rằng tồn tại $m,n\in \{1;2;...;78\}$, $m\ne n$ thỏa mãn: $m{x}_m-n{x}_n$ chia hết cho 79.

Câu 3 (7.0 điểm). Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)$ và số nguyên tố $p$, ta nói $P(x)$ là $p$-tốt nếu mọi số nguyên có thể thu được từ 0 sau hữu hạn các phép thay sau: thay $a$ bởi $P(a)$, hoặc thay $a$ bởi số nguyên $b$ (nếu tồn tại) sao cho $P(b)\equiv a(\mathrm{mod}p)$.

a) Hỏi có bao nhiêu đa thức 3-tốt có bậc 99 và mọi hệ số thuộc $\{1;2;\dots ;99\}$?

b) Chứng minh rằng với mọi đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc 2, tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $P(x)$ không là $p$-tốt.

Câu 5. (6.0 điểm)

a) Cho $n=2026^{2027}+2027^{2026}+30$. Chứng minh rằng tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ chia hết cho 24.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$, $y$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{x{y}^3}{x+y}=p$.

Câu 3 (6,0 điểm). Với số nguyên tố $p$, đặt $f_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$.

a) Chứng minh rằng nếu $p\mid m$ thì mọi ước nguyên tố của $f_p(m)$ đều nguyên tố cùng nhau với $m(m-1)$.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $pn+1$ là số nguyên tố.

Cho dãy gồm 2021 số được sắp thứ tự tăng dần như sau: $C_4^4;C_5^4;\dots ;C_{2023}^4;C_{2024}^4$. Lấy ngẫu nhiên ba số hạng liên tiếp từ dãy số đã cho, biết xác suất để tổng ba số này là một số lẻ bằng $\frac{a}{b}$, với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $a+b$.

(4,0 điểm) Cho $A(n)=10^{10^n}-9^{9^n}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Tìm một giá trị của $n$ sao cho $A(n)$ có hai chữ số tận cùng giống nhau.

b) Chứng minh rằng nếu $A(n)$ có $k$ chữ số tận cùng giống nhau thì $k\le 4$.