Câu 3 (6,0 điểm). Với số nguyên tố $p$, đặt $f_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$.

a) Chứng minh rằng nếu $p\mid m$ thì mọi ước nguyên tố của $f_p(m)$ đều nguyên tố cùng nhau với $m(m-1)$.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $pn+1$ là số nguyên tố.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3.

a) Giả sử $p\mid m$. Khi đó $f_p(m)=m^{p-1}+\dots +m+1\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ (mọi số hạng chứa $m$ đều chia hết cho $m$), nên $\gcd (f_p(m),m)=1$.

Mặt khác, vì $m\equiv 1(\mathrm{mod}m-1)$ nên $f_p(m)\equiv \underset{p}{\underbrace{1+\dots +1}}\equiv p(\mathrm{mod}m-1)$. Gọi $q$ là ước nguyên tố bất kỳ của $f_p(m)$. Nếu $q\mid m-1$ thì $q\mid p$, tức $q=p$; nhưng khi đó $p\mid m$ và $p\mid m-1$, vô lý. Vậy $q\nmid m-1$. Kết hợp $q\nmid m$ (do $f_p(m)\equiv 1(\mathrm{mod}m)$), ta được $\gcd (q,m(m-1))=1$ với mọi ước nguyên tố $q$ của $f_p(m)$. Đpcm.

b) Giả sử phản chứng chỉ có hữu hạn số nguyên tố dạng $pn+1$, liệt kê $q_1,q_2,\dots ,q_k$ (khác $p$). Đặt $m=p{q}_1{q}_2\cdots q_k$, khi đó $p\mid m$. Theo câu a), mọi ước nguyên tố $q$ của $f_p(m)$ đều nguyên tố cùng nhau với $m(m-1)$; nói riêng $q\nmid m$ và $q\nmid m-1$.

Từ $f_p(m)=\frac{m^p-1}{m-1}$ và $q\mid f_p(m)$, $q\nmid m-1$, suy ra $m^p\equiv 1(\mathrm{mod}q)$. Vì $q\nmid m-1$ nên $m\not\equiv 1(\mathrm{mod}q)$, do đó cấp của $m$ modulo $q$ đúng bằng $p$. Theo định lý Fermat nhỏ, $m^{q-1}\equiv 1(\mathrm{mod}q)$, nên $p\mid q-1$, tức $q=pn+1$ với $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Nhưng $q\nmid m=p{q}_1\cdots q_k$, mâu thuẫn với cách dựng $q_1,\dots ,q_k$ là toàn bộ các số nguyên tố dạng $pn+1$. Vậy tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $pn+1$ là số nguyên tố. Đpcm.