Đề Khảo Sát Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Toán THPT Chuyên Lào Cai - Ngày Thi Thứ Nhất

Câu 1 (7,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$f(x)f(y)=xf(f(y-x))+xf(2x)+f\left(x^2\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân $(AB<AC)$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Kẻ các đường kính $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ của $(O)$ và giả sử $A{B}^{\prime },A{C}^{\prime }$ lần lượt cắt $A^{\prime }C,A^{\prime }B$ tại $M,N$. Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ và các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $D,E,F$.

a) Chứng minh rằng $AD$ là tiếp tuyến của $(O)$.

b) Dựng các điểm $X,Y$ trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $EX\parallel AC,FY\parallel AB$. Các đường thẳng $EX$ và $FY$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYT$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$.

Câu 3 (6,0 điểm). Với số nguyên tố $p$, đặt $f_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$.

a) Chứng minh rằng nếu $p\mid m$ thì mọi ước nguyên tố của $f_p(m)$ đều nguyên tố cùng nhau với $m(m-1)$.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $pn+1$ là số nguyên tố.

Câu 4 (6,0 điểm).
a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số thực, bậc 2026 thỏa mãn $$P\left(x^2\right)+xP(-x)=P(x{)}^2-\frac{x^2}{4}\forall x\in \mathbb{R}.$$
b) Cho số nguyên tố $p\ne 19$, chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^p-p\cdot 19^{p}x+p^2$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.

Câu 5 (7,0 điểm). Một tập hợp con $S\subset \{1,2,\dots ,n\}$ được gọi là tập tốt nếu với mọi $x$ thuộc $S$ thì ít nhất một trong hai số $x-1$ hoặc $x+1$ cũng thuộc $S$.
a) Chứng minh rằng một tập con $S\subset \{1,2,\dots ,n\},n\ge 5$, gồm 5 phần tử là tập tốt khi và chỉ khi nó có dạng $S=A\cup B$, với $A\cap B=\varnothing$, trong đó $A$ gồm 3 số nguyên liên tiếp và $B$ gồm hai số nguyên liên tiếp.
b) Chứng minh rằng số tập con $S$ ($S$ là tập tốt) gồm 5 phần tử của $\{1,2,\dots ,n\},n\ge 5$ là một số chính phương.

Câu 6 (7,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có trọng tâm $G$, trực tâm $H$ và các đường cao $AD,BE,CF$. Các tia $GD,GE,GF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $X,Y,Z$. Gọi $X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }$ lần lượt là đối xứng của $X,Y,Z$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$.
a) Chứng minh rằng $H{X}^{\prime },H{Y}^{\prime },H{Z}^{\prime }$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại ba điểm nằm trên một đường thẳng vuông góc với $OH$.
b) Chứng minh rằng $A{X}^{\prime },B{Y}^{\prime },C{Z}^{\prime }$ đồng quy.