Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình nghiệm nguyên (Toán học Lớp 10, 11, 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3a: Điều kiện $-x^2-2x+24\ge 0\iff (x+6)(x-4)\le 0\iff x\in [-6;4]$. Với $x$ nguyên, đặt $t=x+1$, biểu thức dưới căn là $25-t^2$ với $t\in \{-5,...,5\}$, nên $25-t^2\in \{0,9,16,21,24,25\}$. Vì $2y^2$ chẵn nên $\sqrt{25-t^2}$ chẵn, chỉ xét $25-t^2\in \{0,16,24\}$: với $0$: $y^2=1$, $t=\pm 5$ tức $x=4$ hoặc $x=-6$, $y=\pm 1$; với $16$: $y^2=9$, $t=\pm 3$ tức $x=2$ hoặc $x=-4$, $y=\pm 3$; với $24$: $y^2=13$ loại. Vậy tập nghiệm $(x,y)\in \{(4,1),(4,-1),(-6,1),(-6,-1),(2,3),(2,-3),(-4,3),(-4,-3)\}$. Kiểm tra lại ví dụ $(2,3)$: $2\cdot 9=18=2+\sqrt{16}$ đúng. Câu 3b: Điều kiện thứ hai cho $(n^2-m)\mid (2n+m^2)$, suy ra $n^2-m\le 2n+m^2$ (khi $n^2-m>0$), tức $(n-1{)}^2\le m^2+m+1$. Nếu $n\ge m+2$ thì $(m+1{)}^2\le m^2+m+1\Rightarrow m\le 0$, mâu thuẫn. Vậy $n\le m+1$; đối xứng ta cũng có $m\le n+1$, nên $|m-n|\le 1$. Trường hợp $n=m+1$: $m^2+m+1\mid m^2+2m+2$ suy ra $m^2+m+1\mid m+1$, vô lý vì $m^2+m+1>m+1$. Tương tự $m=n+1$ vô nghiệm. Trường hợp $m=n$: cần $m(m-1)\mid m(m+2)$, tức $m-1\mid 3$ (loại $m=1$ vì mẫu số bằng 0), cho $m=2$ hoặc $m=4$. Thử lại: $(2,2)$: $2\mid 8$ và $2\mid 8$ đúng; $(4,4)$: $12\mid 24$ và $12\mid 24$ đúng. Vậy $(m,n)\in \{(2,2),(4,4)\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1^3+2^3+\cdots +(p-1{)}^3={\left(\frac{p(p-1)}{2}\right)}^2$. Đặt $m=\frac{p-1}{2}$ (nguyên vì $p$ lẻ), biểu thức cần xét là $$S=p^2{m}^2+p^n=p^2\left(m^2+p^{n-2}\right)(n\ge 2),S=p^2{m}^2+p=p(p{m}^2+1)(n=1).$$

**TH1: $n=1$.** $S=p(p{m}^2+1)$. Nếu $S$ chính phương thì $p\mid S\Rightarrow p^2\mid S\Rightarrow p\mid p{m}^2+1$, vô lý. Loại.

**TH2: $n$ chẵn, $n=2k\ge 2$.** Khi đó cần $m^2+p^{2k-2}=t^2$ với $t$ nguyên, tức $(t-m)(t+m)=p^{2k-2}$. Vì $t-m<t+m$ và tích là lũy thừa của $p$ nên $t-m=p^a,t+m=p^b$ với $a<b,a+b=2k-2$. Suy ra $2m=p^b-p^a=p^a(p^{b-a}-1)$. Vì $p\nmid 2m=p-1$ nên $a=0$, khi đó $p^b-1=p-1\Rightarrow b=1\Rightarrow 2k-2=1$, vô lý (vì $2k-2$ chẵn). Loại tất cả $n$ chẵn.

**TH3: $n$ lẻ, $n\ge 3$.** Tương tự cần $m^2+p^{n-2}=t^2$, suy ra $(t-m)(t+m)=p^{n-2}$, với $a=0$ như trên nên $p^b-1=p-1\Rightarrow b=1\Rightarrow n-2=1\Rightarrow n=3$.

**Kiểm tra $n=3$:** $$S={\left(\frac{p(p-1)}{2}\right)}^2+p^3=p^2\cdot \frac{(p-1{)}^2+4p}{4}=p^2\cdot \frac{(p+1{)}^2}{4}={\left(\frac{p(p+1)}{2}\right)}^2,$$ đúng là số chính phương (vì $p(p+1)/2$ nguyên).

Vậy tập tất cả các số cần tìm là $n=3$.