Câu 3. (3,0 điểm).

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $2y^2=2+\sqrt{-x^2-2x+24}$.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ thỏa mãn $2m+n^2$ chia hết cho $m^2-n$ và $2n+m^2$ chia hết cho $n^2-m$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3a: Điều kiện $-x^2-2x+24\ge 0\iff (x+6)(x-4)\le 0\iff x\in [-6;4]$. Với $x$ nguyên, đặt $t=x+1$, biểu thức dưới căn là $25-t^2$ với $t\in \{-5,...,5\}$, nên $25-t^2\in \{0,9,16,21,24,25\}$. Vì $2y^2$ chẵn nên $\sqrt{25-t^2}$ chẵn, chỉ xét $25-t^2\in \{0,16,24\}$: với $0$: $y^2=1$, $t=\pm 5$ tức $x=4$ hoặc $x=-6$, $y=\pm 1$; với $16$: $y^2=9$, $t=\pm 3$ tức $x=2$ hoặc $x=-4$, $y=\pm 3$; với $24$: $y^2=13$ loại. Vậy tập nghiệm $(x,y)\in \{(4,1),(4,-1),(-6,1),(-6,-1),(2,3),(2,-3),(-4,3),(-4,-3)\}$. Kiểm tra lại ví dụ $(2,3)$: $2\cdot 9=18=2+\sqrt{16}$ đúng. Câu 3b: Điều kiện thứ hai cho $(n^2-m)\mid (2n+m^2)$, suy ra $n^2-m\le 2n+m^2$ (khi $n^2-m>0$), tức $(n-1{)}^2\le m^2+m+1$. Nếu $n\ge m+2$ thì $(m+1{)}^2\le m^2+m+1\Rightarrow m\le 0$, mâu thuẫn. Vậy $n\le m+1$; đối xứng ta cũng có $m\le n+1$, nên $|m-n|\le 1$. Trường hợp $n=m+1$: $m^2+m+1\mid m^2+2m+2$ suy ra $m^2+m+1\mid m+1$, vô lý vì $m^2+m+1>m+1$. Tương tự $m=n+1$ vô nghiệm. Trường hợp $m=n$: cần $m(m-1)\mid m(m+2)$, tức $m-1\mid 3$ (loại $m=1$ vì mẫu số bằng 0), cho $m=2$ hoặc $m=4$. Thử lại: $(2,2)$: $2\mid 8$ và $2\mid 8$ đúng; $(4,4)$: $12\mid 24$ và $12\mid 24$ đúng. Vậy $(m,n)\in \{(2,2),(4,4)\}$.