Câu 5: (3,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $2^{2^{4n+1}}+7$ chia hết cho 11.

Xét số nguyên $n\ge 3$. Ký hiệu $1=a_1<\dots <a_k=n-1$ là tất cả các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Đặt $f(n)$ là ước chung lớn nhất của các số $a_1^3-1,\dots ,a_k^3-1$. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(n)=2$.

Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 theo thứ tự tăng dần?

(7,0 điểm) Cho $a$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố và $A=a^{p-1}+a^{p-2}+\cdots +a+1$.

a) Chứng minh rằng, nếu $d$ là ước nguyên tố của $A$ thì $p=d$ hoặc $p\mid (d-1)$.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ $p$ sao cho tồn tại $a$ để $A+1$ là một lũy thừa bậc 5 của một số nguyên dương.

Câu 5 (3,0 điểm). Giả sử $\{x_1;x_2;...;x_{78}\}$ là một hoán vị của tập $A=\{1976;1977;...;2053\}$.
a) Tìm dư khi chia $a=x_1{x}_2...x_{78}$ cho 79.
b) Chứng minh rằng tồn tại $m,n\in \{1;2;...;78\}$, $m\ne n$ thỏa mãn: $m{x}_m-n{x}_n$ chia hết cho 79.

Câu 3 (7.0 điểm). Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)$ và số nguyên tố $p$, ta nói $P(x)$ là $p$-tốt nếu mọi số nguyên có thể thu được từ 0 sau hữu hạn các phép thay sau: thay $a$ bởi $P(a)$, hoặc thay $a$ bởi số nguyên $b$ (nếu tồn tại) sao cho $P(b)\equiv a(\mathrm{mod}p)$.

a) Hỏi có bao nhiêu đa thức 3-tốt có bậc 99 và mọi hệ số thuộc $\{1;2;\dots ;99\}$?

b) Chứng minh rằng với mọi đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc 2, tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $P(x)$ không là $p$-tốt.

Câu 5. (6.0 điểm)

a) Cho $n=2026^{2027}+2027^{2026}+30$. Chứng minh rằng tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ chia hết cho 24.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$, $y$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{x{y}^3}{x+y}=p$.