Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 THPT Số 1 Lê Hồng Phong 2025-2026

Câu 1: (5,0 điểm).

a). Cho hàm số $y=x^2-4x+1$, có đồ thị (P) và đường thẳng $(d):y=x+7$. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và đồ thị (P).

b). Tìm giá trị thực $m$ để bất phương trình $(m+1)x^2-2mx-m+3<0$ vô nghiệm.

Câu 2: (4,0 điểm).

a). Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}{x}^2-y=y^2+x\\ x^2+3y^2=5+xy\end{array};x,y\in \mathbb{R}.$$

b). Một nhà địa chất đang ở vị trí A trên sa mạc, cách con đường thẳng 10 km (AN = 10 km). Trên con đường, xe của nhà địa chất chạy với vận tốc 50 km/h, còn trên sa mạc chỉ chạy với vận tốc 30 km/h. Nhà địa chất cần đi đến trạm xăng tại vị trí P nằm trên con đường, biết rằng NP = 25 km. Trên đoạn đường từ vị trí N đến trạm xăng P có một vị trí M, nhà địa chất muốn đi từ vị trí A qua sa mạc đến vị trí M rồi đi trên đường đến trạm xăng P (như hình vẽ).



Biết tổng thời gian nhà địa chất đi hết 46 phút. Hỏi vị trí M cách vị trí N bao nhiêu kilômét (km).

Câu 3: (5,0 điểm).

a). Cho tam giác $ABC$ có $AB=c;AC=b;BC=a$. Gọi $h_a$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$, $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$. Giải sử tam giác $ABC$ thỏa mãn $h_a=\sqrt{p(p-a)}$. Chứng minh $ABC$ là tam giác cân.

b). Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $I,J,K$ sao cho $\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$, $\overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{CJ}$, $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}$. Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

Câu 4: (3,0 điểm).

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $3ab+bc+2ac=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{4}{b^2+4}+\frac{9}{c^2+9}$.

Câu 5: (3,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $2^{2^{4n+1}}+7$ chia hết cho 11.