Câu 2: (4,0 điểm).

a). Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}{x}^2-y=y^2+x\\ x^2+3y^2=5+xy\end{array};x,y\in \mathbb{R}.$$

b). Một nhà địa chất đang ở vị trí A trên sa mạc, cách con đường thẳng 10 km (AN = 10 km). Trên con đường, xe của nhà địa chất chạy với vận tốc 50 km/h, còn trên sa mạc chỉ chạy với vận tốc 30 km/h. Nhà địa chất cần đi đến trạm xăng tại vị trí P nằm trên con đường, biết rằng NP = 25 km. Trên đoạn đường từ vị trí N đến trạm xăng P có một vị trí M, nhà địa chất muốn đi từ vị trí A qua sa mạc đến vị trí M rồi đi trên đường đến trạm xăng P (như hình vẽ).



Biết tổng thời gian nhà địa chất đi hết 46 phút. Hỏi vị trí M cách vị trí N bao nhiêu kilômét (km).

a. (2,0 điểm). Giải hệ phương trình $$\{\begin{array}{ll}{x}^2-y=y^2+x& (1)\\ x^2+3y^2=5+xy& (2)\end{array}$$

- (0,5 điểm). Ta có $x^2-y=y^2+x\iff x^2-y^2=x+y\iff (x+y)(x-y-1)=0\iff \left[\begin{array}{c}y=-x\\ y=x-1\end{array}\right]$

- (0,5 điểm). Với $y=-x$ thay vào (2) biến đổi ta được PT: $x^2=1\iff \left[\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=-1\\ x=-1\Rightarrow y=1\end{array}\right]$

- (0,5 điểm). Với $y=x-1$ thay vào (2) biến đổi ta được $$3x^2-5x-2=0\iff \left[\begin{array}{c}x=2\Rightarrow y=1\\ x=-\frac{1}{3}\Rightarrow y=\frac{-4}{3}\end{array}\right]$$

- (0,5 điểm). Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm $(1;-1),(-1;1),(2;1),\left(-\frac{1}{3};\frac{-4}{3}\right)$

b. (2,0 điểm). Một nhà địa chất đang ở vị trí $A$ trên sa mạc, cách con đường thẳng $10km$ $(AN=10km)$. Trên con đường, xe của nhà địa chất chạy với vận tốc $50km/h$, còn trên sa mạc chỉ chạy với vận tốc $30km/h$. Nhà địa chất cần đi đến trạm xăng tại vị trí $P$ nằm trên con đường, biết rằng $NP=25km$. Trên đoạn đường từ vị trí N đến trạm xăng P có một vị trí M, nhà địa chất muốn đi từ vị trí A qua sa mạc đến vị trí M rồi đi trên đường đến trạm xăng P (như hình vẽ).



Biết tổng thời gian nhà địa chất đi hết 46 phút. Hỏi vị trí M cách vị trí N bao nhiêu kilômét (km).

- (0,5 điểm). Ta có quãng đường $AM=\sqrt{10^2+x^2}$ ; $MP=25-x$ ; $(0<x<25)$.

- (0,5 điểm). Thời gian nhà địa chất đi từ A đến M và từ M đến trạm xăng P là $$\frac{\sqrt{10^2+x}}{30}+\frac{25-x}{50}(h).$$

- (0,5 điểm). Tổng thời gian đi hết $46phut=\frac{23}{30}(h)$,

Ta có phương trình $\frac{\sqrt{10^2+x}}{30}+\frac{25-x}{50}=\frac{23}{30}\iff 5\sqrt{100+x^2}=40+3x$, (*), với đk $0<x<25$.

- (0,5 điểm). Bình phương hai vế phương trình (*) và biến đổi ta được $4x^2-60x+225=0\iff x=7,5$. Vậy $NM=7,5km$.