Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=3,\\ u_{n+1}=\frac{2(n+1)u_n-n-2}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a. (3,0 điểm) Tính $\lim \left(\frac{u_n}{n}-2^n\right)$.
b. (4,0 điểm) Có hay không số $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $u_i{u}_{i+1}=m\cdot 2027^2$ với $m$ là một số nguyên dương? Tại sao?

a) Từ đề bài ta có $\frac{u_{n+1}}{n+1}=2\frac{u_n}{n}-\frac{n+2}{n(n+1)}=2\frac{u_n}{n}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}$.
Do đó $\frac{u_{n+1}-1}{n+1}=2\frac{u_n-1}{n}$. Đặt $v_n=\frac{u_n-1}{n}$ thì $v_{n+1}=2v_n$ và $v_1=2$.
Suy ra $v_n=2^n$, tức là $u_n=1+n\cdot 2^n$ với mọi $n\ge 1$.
Vì vậy $\frac{u_n}{n}-2^n=\frac{1}{n}$, $\forall n\ge 1$, nên giới hạn cần tìm bằng 0.
b) Ta sẽ chỉ ra rằng $i=2025$ thỏa mãn yêu cầu.
Ta có $u_{2025}=2025\cdot 2^{2025}+1\equiv (-2)\cdot 2^{2025}+1\equiv 1-2^{2026}\equiv 0(\mathrm{mod}2027)$.
Mặt khác, $u_{2026}=2026\cdot 2^{2026}+1\equiv -2^{2026}+1\equiv 0(\mathrm{mod}2027)$.
Vì vậy $u_{2025}{u}_{2026}$ chia hết cho $2027^2$ nên câu trả lời là có, chẳng hạn với $i=2025$.

Nhận xét: Khi đổi bài toán thành $u_i{u}_{i+1}=m\cdot 2027^k$ với $k\ge 2$ cho trước thì câu trả lời vẫn là tồn tại $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, tuy nhiên lúc này bài toán sẽ khó hơn một chút.