a. (2,5 điểm) Cho hai số nguyên dương $u,v$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh mọi ước nguyên tố $q>3$ của $A=u^2-uv+v^2$ đều có dạng $6k+1$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b. (3,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$, với $(x,70)=1$, thỏa mãn phương trình sau:
$$x^6+70^6=2089^y-62^y.$$

a) Giả sử $q>3$ là một ước nguyên tố của $A=u^2-uv+v^2$. Vì $(u,v)=1$, ta có $q\nmid u$ và $q\nmid v$.
Khi đó tồn tại $v^{-1}$ sao cho $v\cdot v^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}q)$, và đặt $t\equiv u{v}^{-1}(\mathrm{mod}q)$ để suy ra được
$$t^2-t+1\equiv 0(\mathrm{mod}q)$$
Do đó $t^3\equiv -1(\mathrm{mod}q)$. Nếu $t\equiv -1(\mathrm{mod}q)$ thì $t^2-t+1\equiv 3(\mathrm{mod}q)$, vô lý vì $q>3$.
Vì vậy ${\mathrm{ord}}_{q}t=6$, và theo Fermat nhỏ thì $q-1$ chia hết cho 6 nên $q=6k+1$ với $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Để ý $2027\mid 2089^y-62^y$ nên $2027\mid x^6+70^6$. Theo bổ đề quen thuộc về số nguyên tố $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, ta có $x^3$ và $70^3$ đều chia hết cho 2027, tức là 70 chia hết cho 2027, vô lý.
Do đó không tồn tại các số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.