Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BC=3BM$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $DM$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{DE}{DM}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;h)$ với $h>0$. Vì $BC=3BM$ nên $BM=\frac{1}{3}BC$, do đó $M\left(1;\frac{1}{3};0\right)$. Điểm chạy trên đường thẳng $DM$: $P(t)=D+t(M-D)=(t;1-\frac{2t}{3};0)$, với $t=0$ tại $D$ và $t=1$ tại $M$. Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $A$, chứa vectơ $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$ và $\overrightarrow{AS}=(0;0;h)$, nên có phương trình $x-y=0$. Thay tọa độ $P(t)$: $t=1-\frac{2t}{3}\Rightarrow \frac{5t}{3}=1\Rightarrow t=\frac{3}{5}$. Vậy $E$ nằm giữa $D$ và $M$ với $\frac{DE}{DM}=\frac{3}{5}=0,6$.