Đề Thi Học Sinh Giỏi THPT Cấp Tỉnh Lâm Đồng Toán 2025-2026

Nhân dịp khai trương, một cửa hàng kinh doanh bán đồng giá các sản phẩm áo, mũ và túi xách. Biết rằng mỗi áo bán đồng giá $x$ nghìn đồng, mỗi mũ bán đồng giá $y$ nghìn đồng và mỗi túi xách bán đồng giá $z$ nghìn đồng. Tại cửa hàng này trong dịp khai trương, Lan mua 2 chiếc áo, 1 mũ, 3 túi xách hết 1450 nghìn đồng; Cúc mua 1 chiếc áo, 2 mũ, 1 túi xách hết 1050 nghìn đồng; Huệ mua 3 chiếc áo, 2 túi xách hết 1100 nghìn đồng. Tổng số tiền (nghìn đồng) khi mua một áo, một mũ và một túi xách bằng

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $I(3;5)$ có hai cạnh $DC:x+3y-6=0$, $BC:2x-5y-1=0$. Đường thẳng $AD$ có phương trình là

Biết tổng $S={\log }_5\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+{\log }_5\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\dots +{\log }_5\left(1-\frac{1}{2025^2}\right)={\log }_5\frac{a}{b}$ với $a,b$ là những số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $(2a-b)$ bằng

Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ sản phẩm trong một tuần được cho bởi công thức $C(x)=100+30x$ (triệu đồng). Gọi $\overline{C}(x)$ là chi phí trung bình (triệu đồng) để nhà máy A sản xuất một sản phẩm trong một tuần. Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hệ số của số hạng chứa $x^4$ trong khai triển ${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^5$ với $x\ne 0$ bằng

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:4x-3y+3=0$. Đường tròn tâm $I(1;-1)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB=8$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng

Cho hàm số $y=a{x}^3+cx+d(a\ne 0)$ có $\underset{(-\infty ;0)}{\min }f(x)=f(-2)$. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[1;3]$ bằng

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $M(0;1)$ và có một điểm cực trị là $A(-2;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=4a+b+c$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Gọi $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất. Giá trị $2x_0-3y_0+z_0$ bằng

Cho hàm số $f(x)=9^x-8.3^x$.

Một công ty trong một đợt quảng cáo và bán hàng khuyến mãi hàng hóa (một sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, loại B có giá 3 triệu đồng. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Gọi x, y lần lượt là số xe loại A và loại B mà công ty thuê.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(6;0;0)$, $D(0;6;0)$, $A^{\prime }(0;0;6)$. Gọi $P$ là trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$.

Một robot vẽ hoa văn trang trí trên một tấm nhựa hình vuông có diện tích $1m^2$ theo nguyên lí tự lập: lần thứ nhất, chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn hình vuông ở chính giữa; ở mỗi lần tiếp theo, chỉ với các hình vuông chưa vẽ hoa văn, mỗi hình vuông tiếp tục chia thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn ở hình vuông trung tâm (hình minh họa bên dưới). Quy trình trên được thực hiện liên tiếp n lần $\left(n\in N^{\ast }\right)$.

Cho hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+4}$ và $g(x)=x\ln x$.

Cho hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

(2.0 điểm) Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB=1,AC=2$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ và $SA\perp (ABC)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SB,SC$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(AMN)$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{7}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

(2.0 điểm) Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa? Hãy tính lợi nhuận tối đa đó (đơn vị nghìn đồng).

(2.0 điểm) Hai bạn An và Bình tranh chức vô địch trong một cuộc thi cờ tướng. Khi chơi một ván cờ, xác suất thắng của An là 0,35 và xác suất thắng của Bình là 0,65. Mỗi ván cờ không có hòa cờ. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm bạn An đã thắng 4 ván và bạn Bình mới thắng 3 ván thì xác suất để bạn An giành chiến thắng bằng bao nhiêu?

(1.0 điểm) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $c$ là số nhỏ nhất và $\{\begin{array}{l}{a}^2+c^2>0\\ b^2+c^2>0\end{array}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\sqrt{a+b+c}$.

(1.0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $B(3;-4;0)$ và $C(6;0;0)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc miền trong tam giác $OBC$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến các đỉnh của tam giác $OBC$ đạt giá trị nhỏ nhất (với $O$ là gốc tọa độ).