Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\sqrt{5}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $30^{\circ }$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $CD$, $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $BE$. Độ dài đoạn $SH$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc 20 $(m)$ và về phía Tây 10 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 0,7 $(m)$. Chiếc flycam thứ hai cách điểm xuất phát về phía Nam 30 $(m)$ và về phía Đông 25 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 1 $(m)$. Trên mặt đất, người ta xác định một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính khoảng cách $(m)$ từ điểm xuất phát đến vị trí vừa xác định được (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc 20 $(m)$ và về phía Tây 10 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 0,7 $(m)$. Chiếc flycam thứ hai cách điểm xuất phát về phía Nam 30 $(m)$ và về phía Đông 25 $(m)$, đồng thời cách mặt đất 1 $(m)$. Trên mặt đất, người ta xác định một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính khoảng cách $(m)$ từ điểm xuất phát đến vị trí vừa xác định được (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Ở một số vùng quê xưa ở Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện gia đình. Nhà ông M dự định xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật $ABCD$ có độ dài các cạnh lần lượt là $AB=5\left(\text{m}\right)$ và $AD=12\left(\text{m}\right)$. Để thuận lợi cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nền ông M xây vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ là $5\left(\text{cm}\right)$, vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ là $8\left(\text{cm}\right)$ (tham khảo hình vẽ). Hỏi vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ là bao nhiêu centimét?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, $A{A}^{\prime }=2a$, $\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là điểm di động trên mặt phẳng $(ABC)$ sao cho $AM$ vuông góc với $B{B}^{\prime }$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $B^{\prime }M$ là

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A^{\prime }C$, điểm cuối thuộc cạnh $B{C}^{\prime }$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2;3;1)$ và $B(3;-4;1)$. Điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $T=2M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị 3MA – 6MB bằng bao nhiêu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)