Với mọi số thực dương $x$, giá trị của biểu thức $M=12{\log }_3\sqrt{x}-3{\log }_3\left(3x^2\right)$ bằng bao nhiêu?

Cho các số thực $a,b$ lớn hơn 1 và thỏa mãn $8{\log }_2^{2}a+({\log }_{a}b-1){\log }_{a}b+2{\log }_2\frac{b^3}{a}=0$. Tính giá trị biểu thức $P=4{\log }_{2}a+{\log }_a(ab)$.

Cho số dương $a$ khác 1. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Cho các số dương $a,b$ khác 1 và thỏa mãn ${\log }_{a}b=3$.
Tính giá trị biểu thức $P=494{\log }_{a^3}{b}^4+{\log }_a^2\left(a{b}^2\right)$.

Đặt $x={\log }_{7}2$, hãy biểu diễn $T={\log }_{28}49$ theo $x$.

Cho các số dương $a,b,c$ và $a\ne 1$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét A và B là hai điểm lần lượt nằm trên đồ thị hàm số $y={\log }_{3}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x$ sao cho điểm $C(3;0)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB (như hình bên). Diện tích tam giác OAB bằng bao nhiêu?