Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, $A{A}^{\prime }=2a$, $\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là điểm di động trên mặt phẳng $(ABC)$ sao cho $AM$ vuông góc với $B{B}^{\prime }$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $B^{\prime }M$ là

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A^{\prime }C$, điểm cuối thuộc cạnh $B{C}^{\prime }$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2;3;1)$ và $B(3;-4;1)$. Điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $T=2M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị 3MA – 6MB bằng bao nhiêu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2AB=2\sqrt{2}$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ và $SA=4$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{SN}=y\overrightarrow{SC}$ và độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất. Giá trị của $5x+4y$ bằng

Một phôi vật liệu co khí được đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $cm$) như hình vẽ.



Dựa vào bản vẽ ta có các thông tin sau:
$AB=HG=IJ=KL=EF=CD=30\left(cm\right)$.
$AD=BC=150\left(cm\right)$.
$HB=AG=80\left(cm\right)$.
$IK=JL=20\left(cm\right)$.
$EC=FD=10\left(cm\right)$.
$HI=GJ=30\left(cm\right)$.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Để tiện di chuyển giữa các tầng trong căn hộ 4 tầng của mình, bác Hòa định lắp thang máy trong nhà. Biết cabin của thang máy có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, công ty cung cấp thang máy cho biết thể tích khoang cabin là $5,4m^3$ và diện tích toàn phần của thang là $18,9m^2$. Trong thang máy, bác Hòa lắp 1 chiếc camera ở vị trí trên trần cabin tại điểm $P(a;b;c)$ sao cho camera cách hai vách đứng $\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$ và $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ của khoang cabin đều là $20cm$. Chọn hệ trục như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là $10cm$. Tính $T=a+b+c$, biết rằng cạnh của đáy cabin không tới $2m$.

Một phôi vật liệu cơ khí được đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $cm$) như hình vẽ.



Dựa vào bản vẽ ta có các thông tin sau:

$AB=HG=IJ=KL=EF=CD=30(cm)$.

$AD=BC=150(cm)$.

$HB=AG=80(cm)$.

$IK=JL=20(cm)$.

$EC=FD=10(cm)$.

$HI=GJ=30(cm)$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?