Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với các điểm cách nó hai điểm trên đường tròn để tạo ra các ngôi sao như hình vẽ dưới đây. Số đo (đơn vị độ) của góc ở đỉnh của ngôi sao khi $n=94$ bằng

Câu 3 (5,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $\omega$ đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và cắt $AC$, $BC$, $(O)$ tương ứng tại $P$, $Q$, $K$ ($K$ khác $C$). Gọi $M$, $N$ tương ứng là trung điểm của hai đoạn thẳng $AB$ và $CP$. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $NQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.

b) Ba đường thẳng $BC$, $AK$, $MN$ đồng quy.

Câu 3 (7,0 điểm): Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Đường thẳng đi qua $H$ song song với $BC$ cắt $AB$, $AC$ tương ứng tại $E$, $F$. Tia $AO$ cắt $(O)$ tại $A^{\prime }$ ($A^{\prime }$ khác $A$) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }EF$ tại $P$ ($P$ khác $A^{\prime }$). Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $EF$ tại $T$. Chứng minh rằng:

a) $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$.

b) Đường thẳng $A^{\prime }T$ cắt đường thẳng $HP$ tại một điểm nằm trên $(O)$.

(6,0 điểm) Cho hai đường tròn $(I),(J)$ không cùng bán kính, tiếp xúc ngoài tại điểm $M$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tương ứng tại $E,F$. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(I),(J)$ tại $M$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A,D$. Đường thẳng $AE$ cắt đường tròn $(I)$ tại $K$. Đường thẳng $AF$ cắt đường tròn $(J)$ tại $L$. Đường thẳng $KL$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B$, $C$ và cắt đường thẳng $FE$ tại điểm $P$.

a) Chứng minh rằng $M$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DBC$.

b) Chứng minh rằng ba điểm $I,J,P$ thẳng hàng.

(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$; $D$, $E$, $F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$, $OX$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Y$, $YI$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Gọi $K$ là điểm đối xứng với $D$ qua $YQ$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $Q$ thẳng hàng.

b) Gọi $T$ là hình chiếu của $E$ lên $FD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AP$, $BT$ và $OI$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, cắt $(O)$ lần thứ hai tại $T$. Đường thẳng $TD$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $J$.
(1) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ và $X$ là giao điểm thứ hai của $AN$ với $(O)$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $EF,BC,JX$ đồng quy.
(2) Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $JE,JF$ với $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $PQ$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$, với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,T$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ và cung lớn $BC$ của $(O)$. Đường thẳng $d$ đi qua $I$ và song song với $BC$ cắt các đường thẳng $AB,AC,DB,DC$ theo thứ tự tại $E,F,K,L$, và cắt đường tròn $(O)$ tại $R,S$, trong đó $R$ nằm cùng phía với $B$ đối với $AO$. Kẻ các tiếp tuyến $DM,DN$ đến đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKE$, với $M,N$ thuộc đường tròn này; kẻ các tiếp tuyến $DP,DQ$ đến đường tròn ngoại tiếp tam giác $CLF$, với $P,Q$ thuộc đường tròn này.
(1) Chứng minh rằng $M,N,P,Q,R,S$ đồng viên.
(2) Gọi $J=MN\cap PQ$. Chứng minh rằng $A,J,T$ thẳng hàng.