Câu 3 (5,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $\omega$ đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và cắt $AC$, $BC$, $(O)$ tương ứng tại $P$, $Q$, $K$ ($K$ khác $C$). Gọi $M$, $N$ tương ứng là trung điểm của hai đoạn thẳng $AB$ và $CP$. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $NQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.

b) Ba đường thẳng $BC$, $AK$, $MN$ đồng quy.

(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$; $D$, $E$, $F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$, $OX$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Y$, $YI$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Gọi $K$ là điểm đối xứng với $D$ qua $YQ$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $Q$ thẳng hàng.

b) Gọi $T$ là hình chiếu của $E$ lên $FD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AP$, $BT$ và $OI$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cần nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $S$ là giao điểm của tia $MH$ với đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AS,EF,BC$ đồng quy.

b) Gọi $K$ là một điểm trên đường thẳng $HM$ sao cho $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKD$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $A$ bán kính $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$.

Câu 4 (4,00 điểm).
1) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $BC$ cố định, $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$, $M$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$, $AC$ lần lượt cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ tại $E$, $F$. Đoạn thẳng $BF$, $CE$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$, $L$.
a) Chứng minh rằng $FB\parallel EC$ và $FK\cdot EC=FB\cdot EL$.
b) Gọi $X$ là giao điểm của $BL$ và $CK$. Chứng minh $AX$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.
2) Cho tập hợp $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$, đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.

Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định trên $(O)$ sao cho $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB<AC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại điểm $A^{\prime }$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ cắt đoạn $AH$ tại $I$.
a) Gọi $M$ là giao của $IE$ và $A^{\prime }B$, $N$ là giao của $IF$ và $A^{\prime }C$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $OH$.
b) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$ và $T$ là giao điểm của $KH$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ song song với $DT$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.

Câu 6 (7,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có trọng tâm $G$, trực tâm $H$ và các đường cao $AD,BE,CF$. Các tia $GD,GE,GF$ cắt đường tròn $(O)$ tại $X,Y,Z$. Gọi $X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }$ lần lượt là đối xứng của $X,Y,Z$ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$.
a) Chứng minh rằng $H{X}^{\prime },H{Y}^{\prime },H{Z}^{\prime }$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại ba điểm nằm trên một đường thẳng vuông góc với $OH$.
b) Chứng minh rằng $A{X}^{\prime },B{Y}^{\prime },C{Z}^{\prime }$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Lấy điểm $P$ sao cho hai đường phân giác trong của góc $\widehat{PBC}$ và $\widehat{PCB}$ cắt nhau tại điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$, $Q$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Lấy lần lượt hai đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $AB$ và $AC$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $K$.
a) Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc $P$ của tam giác $PBC$ và đường tròn nội tiếp tam giác $KBC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại cùng một điểm.
b) Chứng minh $P,Q,K$ thẳng hàng.