Câu 2 (5,0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương phân biệt $a$ và $b$ sao cho tồn tại một đa thức hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn $P(a^3)+7(a+b^2)=P(b^3)+7(b+a^2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện cần: $P(a^3)-P(b^3)$ chia hết cho $a^3-b^3$ (vì $x^i-y^i$ chia hết cho $x-y$ với mọi số nguyên $P$). Phương trình đã cho tương đương $P(a^3)-P(b^3)=7(a^2-b^2+b-a)=7(a-b)(a+b-1)$. Vì $a\ne b$, chia cho $a-b$ ta cần $$a^2+ab+b^2\mid 7(a+b-1).$$ Với $a,b\ge 1$ ta có $a^2+ab+b^2\ge a+b+1>a+b-1$, nên cần $a^2+ab+b^2\le 7(a+b-1)$. Điều kiện đối xứng nên giả sử $a\le b$.
- $a=1$: $b^2+b+1\le 7b\iff b^2-6b+1\le 0\Rightarrow b\le 5$. Kiểm tra: $b=2$: $7\mid 14$ ✓; $b=3$: $13\nmid 21$; $b=4$: $21\nmid 28$; $b=5$: $31\nmid 35$.
- $a=2$: $b^2+2b+4\le 7(b+1)\Rightarrow b\le 5$; $b=3,4,5$: $19\nmid 28$, $28\nmid 35$, $39\nmid 42$.
- $a=3$: $b\le 5$; $b=4,5$: $37\nmid 49$, $49\nmid 56$.
- $a\ge 4$: với $b\ge a+1$, $a^2+ab+b^2\ge 3a^2+2a+1>7a\ge 7(a+b-1)$ khi $a\ge 4$ (kiểm tra trực tiếp $a=4,b=5$: $61>49$), vô nghiệm.
Vậy chỉ có $(a,b)=(1,2)$ hoặc $(2,1)$. Kiểm tra đủ: với $(1,2)$, cần $P(1)-P(8)=7(1+4-2-1)=14$; chọn $P(x)=-2x$ thì $P(1)-P(8)=-2+16=14$ ✓. Tương tự $(2,1)$ dùng cùng $P$.