Câu 4 (5,0 điểm): Cho các số nguyên dương $m$ và $n$. Hãy tìm số cách điền một bảng $m\times n$ gồm $m$ hàng, $n$ cột bằng các số trong tập $\{-2;-1;1;2\}$ (mỗi ô chỉ điền một số) sao cho tích các số trong mỗi hàng và tích các số trong mỗi cột đều bằng $-2$.

Từ các chữ số trong tập hợp $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, có mặt số 1, số 2 và chúng đứng cạnh nhau.

Quanh chu vi một bờ ao đàng có 20 cây được trồng cách đều nhau. Để giảm mật độ cây vì đàng quá dày, người ta có kế hoạch chặt bỏ đi 4 cây sao cho các cây này không đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chặt bỏ đi 4 cây thoả mãn yêu cầu của kế hoạch?

Có 5 quyển sách toán khác nhau, 3 quyển sách lý khác nhau và 4 quyển sách hóa khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên thành một dãy sao cho các sách cùng môn đứng cạnh nhau?

Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có 9 khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ 1 đến 9 theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các khe đều nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có 9 cạnh. Do sai số chế tạo, 9 cánh quạt có khối lượng thực tế là các số nguyên phân biệt từ 1 gam đến 9 gam. Để đảm bảo rotor cân bằng động học khi quay, kỹ sư lựa chọn phương án lắp đặt thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
+ Chia 9 cánh quạt thành 3 nhóm (mỗi nhóm 3 cánh).
+ Mỗi nhóm được lắp vào 3 khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng 3 khe theo vòng tròn).
+ Tổng khối lượng của 3 cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 cánh quạt vào 9 khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên? (Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor).

Một bình chứa 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 2 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách lấy ra ba viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ.

Cho tứ giác $ABCD$. Trên mỗi cạnh $AB,BC,CD,DA$ lấy 8 điểm phân biệt và không có điểm nào trùng với 4 đỉnh $A,B,C,D$. Hỏi từ 36 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác