Câu 1 (5,0 điểm): Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2026\\ u_{n+1}=\frac{\sqrt{n^2+2n+4}}{n^2+3}{u}_n^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$ Đặt $v_n=\frac{n^2}{u_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức truy hồi: $v_{n+1}=\frac{(n+1{)}^2}{u_{n+1}}=\frac{(n+1{)}^2(n^2+3)}{\sqrt{n^2+2n+4}{u}_n^2}=v_n^2\cdot \frac{(n+1{)}^2(n^2+3)}{n^4\sqrt{n^2+2n+4}}$. Đặt $c_n=\frac{(n+1{)}^2(n^2+3)}{n^4\sqrt{n^2+2n+4}}$. Vì $(n+1{)}^2\le 4n^2$, $n^2+3\le 4n^2$ và $\sqrt{n^2+2n+4}\ge n$ với mọi $n\ge 1$, nên $0<c_n\le \frac{16n^4}{n^5}=\frac{16}{n}\le 16$. Do đó $0<v_{n+1}\le 16v_n^2$ với mọi $n$. Mặt khác $v_1=\frac{1}{2026}<\frac{1}{16}$, nên $16v_1<1$, suy ra $v_2\le 16v_1^2<v_1$. Quy nạp: nếu $0<v_n\le v_1<\frac{1}{16}$ thì $0<v_{n+1}\le 16v_n^2\le 16v_1{v}_n<v_n$, vậy dãy $(v_n)$ giảm ngặt và bị chặn dưới bởi $0$, nên tồn tại $\lim v_n=L\ge 0$. Vì dãy giảm nên $L\le v_1<\frac{1}{16}$. Cho $n\to \infty$ trong bất đẳng thức $v_{n+1}\le 16v_n^2$: $L\le 16L^2\iff L(16L-1)\ge 0$. Kết hợp $0\le L<\frac{1}{16}$ suy ra $L=0$. Vậy dãy $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và $\lim v_n=0$. (Kiểm tra số liệu: $v_1=1/2026\approx 4,9\cdot 10^{-4}$, $c_1=16/\sqrt{7}\approx 6,05$, $v_2\approx 1,47\cdot 10^{-6}$, phù hợp kết luận.)