Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng 2. Gọi $E,F,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,AD$ và điểm $G$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Giá trị $\cos \left(\overrightarrow{GE},\overrightarrow{MF}\right)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $B(0;0;0),C(2;0;0),D(1;\sqrt{3};0)$, tâm mặt đáy $I(1;\frac{\sqrt{3}}{3};0)$, nên $A(1;\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{2\sqrt{6}}{3})$ (vì $A{I}^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$). Tam giác $BCD$ đều nên trực tâm $G$ trùng trọng tâm $G(1;\frac{\sqrt{3}}{3};0)$. Trung điểm: $E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3})$, $F(1;0;0)$, $M(1;\frac{2\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{6}}{3})$. Suy ra $\overrightarrow{GE}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3})$, $\overrightarrow{MF}=(0;-\frac{2\sqrt{3}}{3};-\frac{\sqrt{6}}{3})$. Tích vô hướng: $0+\frac{6}{18}-\frac{6}{9}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$. Độ dài: $|GE{|}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}=1$, $|MF{|}^2=\frac{12}{9}+\frac{6}{9}=2$. Vậy $\cos =\frac{-1/3}{1\cdot \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{6}$.