Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Tại thời điểm $t$ chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $4km$ về phía tây và $3km$ về phía nam, đồng thời cách mặt đất $1,5km$, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $2km$ về phía đông và $5km$ về phía bắc, đồng thời cách mặt đất $2km$. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilômét.



Giả sử tại thời điểm $t$ vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất là điểm $A$, vị trí chiếc khinh khí cầu thứ hai là điểm $B$.

Tại khu du lịch người ta làm những căn lều gỗ trong hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ như trong hình 2. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thể hiện như hình 2 (đơn vị đo lấy theo mét), hai điểm $A^{\prime }\left(\frac{12}{5};\frac{9}{2};0\right)$ và $B\left(\frac{6}{5};0;3\right)$. Gọi điểm $M\in AB$ sao cho $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$, điểm $N\in O^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{O^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$. Trong căn lều người dùng dây đèn trang trí được nối thẳng từ điểm $M$ sang điểm $N$. Tính độ dài dây đèn $MN$.

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách du theo đường trượt Zipline từ vị trí $A$ cao 15 m của tháp I này sang vị trí $B$ cao 10 m của tháp II trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị độ dài trên các trục tọa độ là mét), tọa độ của $A$ và $B$ lần lượt là $(3;3;15)$ và $(21;28;10)$. Biết tọa độ du khách khi ở độ cao 12 mét là $(a;b;c)$. Tính $P=5a+b-c$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-12;10;-2)$, $B(-4;6;9)$ và $E(6;-6;4)$. Để tứ giác $ABEF$ là hình bình hành thì tọa độ điểm $F$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $C$ thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$?