Câu 33THPTChuyên đề: GTLN GTNN trên đoạn hoặc miền • Lớp 12Cực trị từ đạo hàm và bảng biến thiênVận dụng#secondary:M12.C02.EXTREMA.L3.DIRECT#curriculum:undetermined
Câu 3. (1,0 điểm) Một cái ao hình (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10m. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu của cây cầu biết: Hai bờ và nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm ; Bờ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm và có trục đối xứng là đường thẳng ; Độ dài đoạn và lần lượt là 40 m và 20 m; Tâm của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng và lần lượt là 40 m và 30 m.
Câu 3. (1,0 điểm) Một cái ao hình (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10m. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu của cây cầu biết: Hai bờ và nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm ; Bờ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm và có trục đối xứng là đường thẳng ; Độ dài đoạn và lần lượt là 40 m và 20 m; Tâm của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng và lần lượt là 40 m và 30 m.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
Hướng dẫn chấm (1,0 điểm):
Gán trục tọa độ sao cho cho đơn vị là 10m.
Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình có tâm . Bờ là một phần của Parabol ứng với .
Vậy bài toán trở thành tìm nhỏ nhất với .
Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm thì , vậy nhỏ nhất khi thẳng hàng.
Bây giờ, ta sẽ xác định điểm để nhỏ nhất.
,
Xét trên
là nghiệm duy nhất và
Ta có ; ; .
Vậy giá trị nhỏ nhất của trên gần bằng khi .
Vậy
.
Điểm: 0,5
Gán trục tọa độ sao cho cho đơn vị là 10m.
Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình có tâm . Bờ là một phần của Parabol ứng với .
Vậy bài toán trở thành tìm nhỏ nhất với .
Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm thì , vậy nhỏ nhất khi thẳng hàng.
Bây giờ, ta sẽ xác định điểm để nhỏ nhất.
,
Xét trên
là nghiệm duy nhất và
Ta có ; ; .
Vậy giá trị nhỏ nhất của trên gần bằng khi .
Vậy
.
Điểm: 0,5
