Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị từ đạo hàm và bảng biến thiên (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=30t-3t^2=-3t(t-10)$. Xét $g(t)=f^{\prime }(t)$ trên $t\ge 0$: $g^{\prime }(t)=30-6t=0\Rightarrow t=5$... thực tế $g(t)$ là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{30}{6}=5$? Kiểm tra lại: $g(t)=30t-3t^2$, $g^{\prime }(t)=30-6t=0\Rightarrow t=5$. Tuy nhiên cách chuẩn: tốc độ truyền bệnh lớn nhất khi $f^{\prime \prime }(t)=0$, tức $30-6t=0\Rightarrow t=5$. Nhưng $f^{\prime }(t)$ đạt max tại $t=5$ với giá trị $f^{\prime }(5)=150-75=75$. Đáp án: ngày thứ 5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm xác định với $x\ne -6$, khi $x\to -6^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to -6^{+}$ thì $y\to -\infty$ nên đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng $x=-6$ (không có tiệm cận đứng khác vì các giới hạn tại $\pm \infty$ đều hữu hạn hoặc không phải vô cực theo chiều dọc). Hàm nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-7)$ (vì $y^{\prime }<0$ trên khoảng đó), không phải trên $(-\infty ;-8)$. $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-7$ (cực tiểu) và từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (cực đại), nên hàm có 2 điểm cực trị. Trên $(-\infty ;0)$: trên $(-\infty ;-6)$ hàm đạt giá trị nhỏ nhất $-12$ tại $x=-7$, nhưng trên $(-6;0)$ hàm tăng từ $-\infty$ đến $-15$, tức có các giá trị nhỏ hơn $-12$ (thậm chí tiến tới $-\infty$), nên hàm không có giá trị nhỏ nhất bằng $-12$ trên $(-\infty ;0)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 1 tiệm cận đứng là $x=-6$ vì chỉ tại đó hàm số tiến tới vô cực (bên trái $+\infty$, bên phải $-\infty$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-7)$, không phải $(-\infty ;-8)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-7$ (từ $-$ sang $+$) và $x=0$ (từ $+$ sang $-$), nên có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-6;0)$ hàm tăng từ $-\infty$ đến $-15$, nên tồn tại giá trị nhỏ hơn $-12$; hàm không có GTNN $-12$ trên $(-\infty ;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $f(0)=2$. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu với giá trị $-4$. Vậy giá trị cực đại bằng $2$, khớp đáp án A (đáp án nguồn: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi đi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với giá trị $f(3)=-4$. (Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là cực đại $f(0)=2$.) Vậy giá trị cực tiểu bằng $-4$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(4x+5)(x+1)-(2x^2+5x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x(x+2)}{(x+1{)}^2}$, cực trị tại $x=0$ và $x=-2$. Hai điểm cực trị: $(0;5)$ và $(-2;-3)$. Đường thẳng $\Delta$ qua hai điểm này có hệ số góc $\frac{-3-5}{-2-0}=4$, phương trình $y=4x+5$. Khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$: $d=\frac{5}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{17}}\approx 1,21$. Khớp đáp án nguồn 1,21.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ (với $y=-4$) và đạt cực đại tại $x=1$ (với $y=0$). Điểm cực đại có hoành độ $x=1$, khớp với đáp án D (các phương án A, C chỉ là giá trị $y$, B là hoành độ điểm cực tiểu). Đáp án nguồn (mã đề 122, câu 8: D) khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-1$ với $y_{CT}=-4$ và điểm cực đại tại $x=1$ với $y_{CĐ}=0$ (đồ thị đi qua điểm $(1;0)$, tại đó hàm đổi chiều biến thiên từ tăng sang giảm). Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng $0$. Kiểm tra: đồ thị bậc ba có $a<0$ (nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống), hai điểm cực trị tại $x=-1$ và $x=1$ đúng như hình, giá trị tại cực tiểu là $-4$ và tại cực đại là $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$, hai nhánh đi lên ở hai đầu nên $a>0$. Hàm số thỏa $f(x)=x^3-3x+1$ (vì $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, $f(\pm 1)=3,-1$). a) Đúng: $a>0$. b) Sai: tâm đối xứng là trung điểm hai điểm cực trị $I\left(\frac{-1+1}{2};\frac{3+(-1)}{2}\right)=(0;1)$, không phải $(1;0)$. c) Sai: giá trị cực tiểu là $y=-1$. d) Đúng: trên $[-2;1]$, so sánh $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(-2)=-8+6+1=-1$ nên GTLN bằng 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi lên về hai đầu, cực đại trước cực tiểu sau nên $a>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là trung điểm $(-1;3)$ và $(1;-1)$, tức $I(0;1)$, không phải $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu là tung độ điểm cực tiểu $y=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3-3x+1$: $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(-2)=-1$, nên GTLN trên $[-2;1]$ bằng 3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ kiện: $f(0)=50$ và $f(x)=0$ tại $x=20,50,100$, nên $f(x)=a(x-20)(x-50)(x-100)$. Thay $x=0$: $a(-20)(-50)(-100)=-100000a=50\Rightarrow a=-\frac{1}{2000}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2000}(3x^2-340x+8000)$. Giải $3x^2-340x+8000=0$: $x=\frac{340\pm \sqrt{340^2-4\cdot 3\cdot 8000}}{6}=\frac{340\pm 140}{6}$, được $x=\frac{100}{3}$ và $x=80$. Trên $[0;100]$: điểm thấp nhất (cực tiểu) $q=\frac{100}{3}$ (nằm giữa hai nghiệm 20 và 50), điểm cao nhất (cực đại) $p=80$ (nằm giữa 50 và 100). Vậy $3q+p=3\cdot \frac{100}{3}+80=180$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu + → − → + tại $x=0$ và $x=2$, nên hàm có hai điểm cực trị (cực đại $f(0)=2$, cực tiểu $f(2)=-2$). Vì $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có nghiệm $0$ và $2$ nên $c=0$, $b=-3a$. Từ $f(0)=d=2$ và $f(2)=8a+4b+2c+d=-2$ suy ra $8a-12a+2=-2\Rightarrow a=1$. Vậy $f(x)=x^3-3x^2+2$, $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$. a) Đúng: hàm có hai điểm cực trị $x=0,x=2$. b) Sai: hàm bậc ba không bị chặn nên không có GTLN/GTNN trên $\mathbb{R}$ (2 và −2 chỉ là giá trị cực đại, cực tiểu). c) Sai: $g^{\prime }(x)=3-2f^{\prime }(x)=3-6x^2+12x$; tại $x=1$ có $g^{\prime }(1)=9>0$, nên $g$ không nghịch biến trên $(0;2)$. d) Sai: $f^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-6(-1)=9\ne -2$, nên đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ không đi qua $A(-1;-2)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu hai lần tại $x=0$ và $x=2$ nên hàm có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba không bị chặn trên $\mathbb{R}$ nên không có GTLN/GTNN; 2 và −2 chỉ là cực đại, cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=3-6x^2+12x$, $g^{\prime }(1)=9>0$ nên $g$ không nghịch biến trên $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ bảng suy ra $f(x)=x^3-3x^2+2$, $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, $f^{\prime }(-1)=9\ne -2$.

(AI giải đề cho tôi)
$V(t)=300(t^2-t^3)+4,5$ với $0\le t\le 0,5$, nên $V^{\prime }(t)=300(2t-3t^2)=300t(2-3t)$ và $V^{\prime \prime }(t)=300(2-6t)$.
a) $V^{\prime \prime }(t)=0\iff t=\frac{1}{3}$ phút $=20$ giây. Trên $[0;\frac{1}{3})$ có $V^{\prime \prime }>0$ nên $V^{\prime }$ đồng biến; trên $(\frac{1}{3};0,5]$ có $V^{\prime \prime }<0$ nên $V^{\prime }$ nghịch biến. Do đó $V^{\prime }$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{1}{3}$ (điểm cực đại của $V^{\prime }$), với $V^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=300\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(2-1\right)=100$ (lít/phút), lớn hơn $V^{\prime }(0)=V^{\prime }(0,5)=37,5$. Vậy tốc độ tăng thể tích lớn nhất vào giây thứ 20, không phải giây thứ 21 → Sai.
b) $V^{\prime }(t)=0\iff t=0$ hoặc $t=\frac{2}{3}$. Trên đoạn $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ chỉ có nghiệm $t=0$ (vì $\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$), tức chỉ một nghiệm → Sai.
c) Sau 30 giây, $t=0,5$ phút: lượng xăng bơm vào là $V(0,5)-V(0)=300(0,25-0,125)=37,5$ lít; số tiền $=37,5\times 21000=787500$ đồng → Đúng.
d) Lượng xăng ban đầu trong bình là $V(0)=300(0-0)+4,5=4,5$ lít, không phải 1,5 lít → Sai.
Đối chiếu đáp án mã đề 122, Câu 4 Phần II: S, S, Đ, S — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V^{\prime }(t)=300t(2-3t)$, $V^{\prime \prime }(t)=300(2-6t)$; $V^{\prime \prime }=0$ tại $t=\frac{1}{3}$ phút $=20$ giây, $V^{\prime \prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $t=\frac{1}{3}$ là điểm cực đại của $V^{\prime }$ với $V^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=100$ là giá trị lớn nhất trên $[0;0,5]$. Vậy max vào giây thứ 20, không phải giây thứ 21 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V^{\prime }(t)=300t(2-3t)=0\iff t=0$ hoặc $t=\frac{2}{3}$; trên $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ chỉ có $t=0$, tức 1 nghiệm → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Lượng xăng bơm sau 30 giây: $300(0,5^2-0,5^3)=37,5$ lít; tiền $=37,5\times 21000=787500$ đồng → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V(0)=4,5$ lít, không phải 1,5 lít → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=-x^3+3x^2+4$, $D=\mathbb{R}$, $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. a) Sai vì $y^{\prime }=-3x^2+6x$ (không phải $-3x^3+6x$). b) $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$ nên hàm đồng biến trên $(0;2)$: Đúng. c) Hai điểm cực trị: $x=0,y=4$ (cực đại) và $x=2,y=8$ (cực tiểu). Đường thẳng qua hai điểm có hệ số góc $(8-4)/(2-0)=2$, phương trình $y=2x+4\iff 2x-y+4=0\ne 2x+y-4=0$: Sai. d) Tam giác $O(0;0)$, $A(0;4)$, $B(2;8)$: $S=\frac{1}{2}|x_O(y_A-y_B)+x_A(y_B-y_O)+x_B(y_O-y_A)|=\frac{1}{2}|0+0+2(0-4)|=4$: Đúng. Khớp đáp án mã đề 101: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
D=ℝ đúng nhưng y'=-3x^2+6x, không phải -3x^3+6x.
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=-3x(x-2)>0 trên (0;2) nên hàm đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (0;4) và (2;8), đường thẳng qua chúng là y=2x+4 hay 2x-y+4=0, không phải 2x+y-4=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
S=½|det[(0,4),(2,8)]|=½|0·8-4·2|=4.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng hàm bậc ba: đi xuống đạt cực tiểu (bên trái trục Oy), rồi đi lên đạt cực đại (bên phải Oy), rồi đi xuống. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x-2{)}^2$ có nghiệm $x=-1,0,1$ (nghiệm đơn) và $x=2$ (nghiệm kép). Xét dấu: $x<-1$: âm; $(-1;0)$: dương; $(0;1)$: âm; $(1;2)$: dương; $x>2$: dương (do $(x-2{)}^2>0$). Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-1$ và $x=0$, nên hàm số có 2 điểm cực tiểu (tại $x=1$ đạo hàm đổi từ dương sang âm là cực đại, tại $x=2$ không đổi dấu).

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x-2{)}^2$ có nghiệm $x=-1,0,1$ (nghiệm đơn) và $x=2$ (nghiệm kép). Xét dấu: $x<-1$: âm; $(-1;0)$: dương; $(0;1)$: âm; $(1;2)$: dương; $x>2$: dương (do $(x-2{)}^2>0$). Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-1$ và $x=0$, nên hàm số có 2 điểm cực tiểu. Tại $x=1$ đổi dấu dương→âm là cực đại; $x=2$ không đổi dấu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x)=a(x-1)(x-2), f(x)=a(x³/3−3x²/2+2x)+c. f(1)=3, f(2)=−2 cho f(1)−f(2)=a/6=5 ⇒ a=30, c=−22, tức f(x)=10x³−45x²+60x−22 (kiểm tra: f(1)=3, f(2)=−2 đúng). a) Cực đại (1;3), cực tiểu (2;−2), khoảng cách √(1²+5²)=√26 → Đúng. b) f(x+1)=1 ⇔ f(t)=1 với t=x+1: 10t³−45t²+60t−24=0; xét dấu: t=0:−24<0, t=1:1>0, t=2:−4<0, t=3:21>0 ⇒ 3 nghiệm thực phân biệt (đúng như đường thẳng y=1 cắt đồ thị bậc ba 3 lần vì −2<1<3) → Đúng. c) g'(x)=−2f'(1−2x); với x∈(−1/2;0) thì 1−2x∈(1;2) nơi f'<0 nên g'>0, hàm đồng biến, không nghịch biến → Sai. d) f²(x)−4=0 ⇔ f(x)=±2. f(x)=2 có 3 nghiệm thực phân biệt (y=2 nằm giữa −2 và 3, các nghiệm thuộc (0;1),(1;2),(2,3) nên không trùng x=2) ⇒ 3 tiệm cận đứng. f(x)=−2 chỉ có nghiệm kép x=2 (điểm cực tiểu) trùng nghiệm của tử số x−2 nên bị khử. Khi x→±∞, h(x)→0 ⇒ tiệm cận ngang y=0. Tổng 4 tiệm cận ≠ 5 → Sai. (Lưu ý: lời giải nguồn nói f=2 chỉ cho 2 tiệm cận là không chính xác, nhưng kết luận d) Sai vẫn đúng vì tổng số là 4.) Khớp đáp án mã đề 121: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (1;3) và (2;−2), khoảng cách √(1²+5²)=√26.
b) (AI giải đề cho tôi)
10t³−45t²+60t−24=0 đổi dấu trên (0;1),(1;2),(2;3) ⇒ 3 nghiệm thực phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=−2f'(1−2x)>0 khi x∈(−1/2;0) vì 1−2x∈(1;2) nơi f'<0, nên g đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
f=2 cho 3 tiệm cận đứng; f=−2 chỉ có nghiệm kép x=2 trùng nghiệm tử số bị khử; cộng tiệm cận ngang y=0 ⇒ tổng 4, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x-4)$. Vì $x^2\ge 0$, dấu của $f^{\prime }$ do $(x-1)(x-4)$ quyết định: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$, $f^{\prime }<0$ trên $(1;4)$. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương hai bên) nên không phải cực trị. Tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ → cực đại. Tại $x=4$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ → cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(0)=1$ nên $d=1>0$. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=0$, nên $f^{\prime }(x)=3ax(x+2)$, suy ra $c=0$ và $2b=6a\Rightarrow b=3a$. Vì hàm số đồng biến khi $x\to +\infty$ nên $a>0$. Mặt khác $f(-2)=2$: $-8a+4b-2c+d=2\Rightarrow -8a+12a+1=2\Rightarrow a=\frac{1}{4}>0$, do đó $b=\frac{3}{4}>0$. Vậy $a=\frac{1}{4}>0$, $b=\frac{3}{4}>0$, $c=0$, $d=1>0$: có 3 số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3^x-9$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow 3^x=9\Rightarrow x=2$. Với $x<2$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>2$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $y(2)=\frac{9}{\ln 3}-18+17=\frac{9}{\ln 3}-1$.
- A đúng: trên $(-\infty ;0)\subset (-\infty ;2)$ hàm nghịch biến.
- B sai: trên $(0;2)$ hàm vẫn nghịch biến, nên không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$.
- C đúng: hàm đạt cực tiểu tại $x=2$.
- D đúng: giá trị cực tiểu là $\frac{9}{\ln 3}-1$.
Vậy mệnh đề sai là B.