Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Diện tích miền giữa hai đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc tại đỉnh, parabol $y=-k{x}^2$. Tại chân đế $y=-18,x=\pm 6$ nên $18=36k\Rightarrow k=\frac{1}{2}$, tức $y=-\frac{x^2}{2}$ (không phải $-\frac{1}{3}{x}^2$). Diện tích từ đỉnh xuống độ sâu $d$: $S(d)={\int }_0^{d}2\sqrt{2t}dt=\frac{4\sqrt{2}}{3}{d}^{3/2}$. Tổng diện tích $=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot 18^{3/2}=144$, mỗi phần $48$. Phần trên cùng: $\frac{4\sqrt{2}}{3}{d}_1^{3/2}=48\Rightarrow d_1^{3/2}=18\sqrt{2}$; hai phần trên: $d_2^{3/2}=36\sqrt{2}=2\cdot 18\sqrt{2}\Rightarrow d_2=2^{2/3}{d}_1$. Vì $A{B}^2=8d_1,C{D}^2=8d_2$ nên $\frac{AB}{CD}=\sqrt{d_1/d_2}=2^{-1/3}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ (đúng). Diện tích miền tô đậm $ABDC$ là một trong ba phần bằng nhau nên bằng $48m^2$, không phải $24m^2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có thể mở lên hoặc mở xuống, nên $a$ chỉ cần $a\ne 0$, không bắt buộc $a>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với đỉnh tại gốc, $y=-k{x}^2$; tại $x=6,y=-18$ suy ra $k=1/2$, phương trình là $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ chứ không phải $y=-\frac{1}{3}{x}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(d)=\frac{4\sqrt{2}}{3}{d}^{3/2}$; $d_2^{3/2}=2d_1^{3/2}\Rightarrow d_2=2^{2/3}{d}_1$, mà $AB=2\sqrt{2d_1},CD=2\sqrt{2d_2}$ nên $\frac{AB}{CD}=\sqrt{\frac{d_1}{d_2}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích hình phẳng là $144m^2$, chia ba phần bằng nhau nên $S_{ABDC}=48m^2\ne 24m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0;1], $\sqrt[3]{x}\ge 0$ nên $S={\int }_0^1|\sqrt[3]{x}|dx$ đúng. b) ${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}\ne \frac{3}{4}$, sai. c) Trên [0;1] có $\sqrt[3]{x}\ge x^3$ nên phải là $S={\int }_0^1(\sqrt[3]{x}-x^3)dx=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, công thức đề sai dấu. d) Phần tô đậm có diện tích $\frac{1}{2}$, viên gạch vuông cạnh 1 có diện tích 1, nên phần không tô đậm $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (dvdt), đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], $\sqrt[3]{x}\ge 0$ nên công thức $S={\int }_0^1|\sqrt[3]{x}|dx$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{4}\ne \frac{3}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], $\sqrt[3]{x}\ge x^3$ nên $S={\int }_0^1(\sqrt[3]{x}-x^3)dx=\frac{1}{2}$, công thức trong đề sai dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phần tô đậm $={\int }_0^1(\sqrt[3]{x}-x^3)dx=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$; viên gạch diện tích 1 nên phần không tô đậm $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (dvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-x=x-x^2\iff x(x^2+x-2)=0\iff x(x-1)(x+2)=0$, nên $x=-2,0,1$. Diện tích $S={\int }_{-2}^1|x^3+x^2-2x|dx$. Nguyên hàm $F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2$. Ta có $F(-2)=4-\frac{8}{3}-4=-\frac{8}{3}$, $F(0)=0$, $F(1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1=-\frac{5}{12}$. Trên $[-2,0]$ thì $x^3+x^2-2x\le 0$, trên $[0,1]$ thì $\ge 0$, nên $S=\left|0-\left(-\frac{8}{3}\right)\right|+\left|-\frac{5}{12}-0\right|=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}$.

a) Theo công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ (với $f(x)\ge 0$ trên $[0;1]$), ta có $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x$. Mệnh đề đúng.
b) Diện tích hình vuông OABC bằng 1. Diện tích phần gạch chéo (D) là $S_{(D)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)\mathrm{d}x={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$. Diện tích phần không gạch chéo là $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ne \frac{3}{5}$. Mệnh đề sai.
c) Theo công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\sqrt{x}\right)}^2\mathrm{d}x=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x=\pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$. Mệnh đề đúng (khớp đáp án nguồn DSDD, hàng 15, cột 789).
d) Trên $[0;1]$ ta có $\sqrt{x}\ge x^2$, nên theo công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số: $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)\mathrm{d}x$. Mệnh đề đúng (khớp đáp án nguồn DSDD, hàng 15, cột 789).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $x=-1$, $x=2$ và hai đồ thị $y=3x$, $y=x^2$ là $S={\int }_{-1}^2\left|x^2-3x\right|\mathrm{d}x$ vì trên đoạn $[-1;2]$ hai đồ thị cắt nhau (tại $x=0$ và $x=3$ ngoài đoạn, nhưng $x^2-3x$ đổi dấu tại $x=0$ trong đoạn), nên phải lấy trị tuyệt đối của hiệu hai hàm. Khớp với đáp án A trong bảng chấm (đề 101, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường cong là $y=x^2-2x-1$ (parabol hướng lên) và $y=-x^2+3$ (parabol hướng xuống). Giao điểm: $x^2-2x-1=-x^2+3\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$ (khớp với hình vẽ). Trên đoạn $[-1;2]$ thì $-x^2+3\ge x^2-2x-1$. Diện tích: $$S={\int }_{-1}^2\left[(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right]dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}+\frac{7}{3}=9.$$ Vậy diện tích phần gạch chéo bằng $9$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(1;3)$ và $(5;7)$, nên $d:y=x+2$. Trên đoạn $[1;5]$, đường thẳng $d$ nằm phía trên $(P)$ (theo hình, parabol nằm dưới dây cung). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ là:
$$S=\underset{1}{\overset{5}{\int }}[(x+2)-f(x)]dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx.$$
Tính: $\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_1^5=\left(\frac{25}{2}+10\right)-\left(\frac{1}{2}+2\right)=\frac{45}{2}-\frac{5}{2}=20.$
Suy ra $\frac{32}{3}=20-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx$, nên $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=20-\frac{32}{3}=\frac{28}{3}$.

+ Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng 1 hệ trục tọa độ



+ Xác định được hoành độ giao điểm các đồ thị: x= 0, x = 1, x = 5.

+ Diện tích cần tìm

$$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^{2}dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{3}{x}dx=1+3\ln 5.\text{ (đvdt)}$$

Điểm: 0,25 (vẽ đồ thị); 0,25 (xác định giao điểm); 0,25 + 0,25 (diện tích)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 1 (Phần III) có đáp số là $26,1$.

Parabol $(P)$ có đỉnh $I(5;0)$ nên có phương trình dạng $y=a(x-5{)}^2$.
Quan sát hình vẽ, điểm $C$ nằm trên trục tung $Oy$ tại tung độ $y=5$, tức là $C(0;5)\in (P)$.
Thay tọa độ $C(0;5)$ vào ta được: $5=a(0-5{)}^2\iff 25a=5\iff a=\frac{1}{5}$.
Do đó parabol có phương trình: $y=\frac{1}{5}(x-5{)}^2=\frac{1}{5}{x}^2-2x+5$.

Hình chữ nhật $OABC$ có $C(0;5)$ và $B$ có hoành độ $x_B=7$, tung độ $y_B=5$, điểm $A(7;0)$.
Phần được tô màu của bảng quảng cáo là hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=5$, parabol $y=\frac{1}{5}(x-5{)}^2$ và hai đường thẳng $x=0,x=7$.
Diện tích của bảng quảng cáo là:
$S={\int }_0^7\left[5-\left(\frac{1}{5}{x}^2-2x+5\right)\right]dx={\int }_0^7\left(2x-\frac{1}{5}{x}^2\right)dx=\left(x^2-\frac{x^3}{15}\right){|}_0^7=49-\frac{343}{15}=\frac{392}{15}\approx 26,\mathrm{133...}\approx 26,1{\text{ m}}^2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 1 (Phần 1) chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm $4x-x^2=2x⟺x=0$ hoặc $x=2$. Diện tích cần tìm là $S={\int }_0^2|2x-x^2|dx=\frac{4}{3}$.

Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-x=x-x^2\iff x^3+x^2-2x=0\iff x(x-1)(x+2)=0\iff x=-2;x=0;x=1$.
Diện tích: $S={\int }_{-2}^1|x^3+x^2-2x|\mathrm{d}x={\int }_{-2}^0(x^3+x^2-2x)\mathrm{d}x-{\int }_0^1(x^3+x^2-2x)\mathrm{d}x=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn C ($16$).

Với $m>0$, phương trình hoành độ giao điểm $2x^2=mx\iff x=0$ hoặc $x=\frac{m}{2}$. Diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_0^{m/2}(mx-2x^2)\mathrm{d}x=\frac{m^3}{24}$. Theo bài ra $\frac{m^3}{24}<10\iff m^3<240\iff m<\sqrt[3]{240}\approx 6,21$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$, có $6$ giá trị. Chọn A.

Theo công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, ta có $S={\int }_0^{\pi }|\sin x-\cos x|dx$.

a) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2-3x+4=2x-2\iff x^3-2x^2-5x+6=0\iff x\in \{-2;1;3\}$. Với $x=-2\Rightarrow y=-6$; $x=1\Rightarrow y=0$; $x=3\Rightarrow y=4$. Vậy $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm $A(-2;-6),B(1;0),C(3;4)$.
b) Sai. Diện tích cần tính là $S={\int }_{-1}^2\left|x^3-2x^2-3x+4\right|dx=\frac{97}{12}\ne \frac{21}{4}$.
c) Sai. Ta có $S_1={\int }_{-2}^1\left|x^3-2x^2-5x+6\right|dx=\frac{63}{4}$ và $S_2={\int }_1^3\left|x^3-2x^2-5x+6\right|dx=\frac{16}{3}$, suy ra $\frac{S_1}{S_2}=\frac{63/4}{16/3}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}$.
d) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $d$ là $S=S_1+S_2=\frac{63}{4}+\frac{16}{3}=\frac{253}{12}$.

a) Đúng: Phương trình hoành độ giao điểm: $x(1-x)=x^3-x\iff x-x^2=x^3-x\iff x^3+x^2-2x=0$.
b) Đúng: Ta có $x^3+x^2-2x=0\iff x(x-1)(x+2)=0\iff x=-2,x=0,x=1$.
Diện tích hình phẳng $S={\int }_{-2}^1|x^3+x^2-2x|dx={\int }_{-2}^0(x^3+x^2-2x)dx+{\int }_0^1(-x^3-x^2+2x)dx=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}$ (đvdt).
c) Sai: Phương trình $x^3+x^2-2x=0$ có 3 nghiệm là $x=-2,x=0,x=1$, do đó tập nghiệm là $\{-2;0;1\}\ne \{0;1\}$.
d) Sai: Tích phân tính diện tích phải lấy từ nghiệm nhỏ nhất $x=-2$ đến nghiệm lớn nhất $x=1$, tức là $S={\int }_{-2}^1|x^3+x^2-2x|dx$, không phải chỉ trên $[0;1]$.

Dựa vào hình vẽ cửa hầm và bảng đáp án chính thức của nhà trường, diện tích cửa hầm tính được làm tròn đến hàng phần mười là $43,3{\text{ m}}^2$.