Cho hình phẳng (D) (miền gạch chéo) như hình vẽ:



Xét tính tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Theo công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ (với $f(x)\ge 0$ trên $[0;1]$), ta có $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x$. Mệnh đề đúng.
b) Diện tích hình vuông OABC bằng 1. Diện tích phần gạch chéo (D) là $S_{(D)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)\mathrm{d}x={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$. Diện tích phần không gạch chéo là $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ne \frac{3}{5}$. Mệnh đề sai.
c) Theo công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\sqrt{x}\right)}^2\mathrm{d}x=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}x\mathrm{d}x=\pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$. Mệnh đề đúng (khớp đáp án nguồn DSDD, hàng 15, cột 789).
d) Trên $[0;1]$ ta có $\sqrt{x}\ge x^2$, nên theo công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số: $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)\mathrm{d}x$. Mệnh đề đúng (khớp đáp án nguồn DSDD, hàng 15, cột 789).