Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$.

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng $\frac{214}{5}$. Khi đó ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$ bằng

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px$. Biết rằng hàm số $y=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1,1,2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng

Giả sử hàm số $y=m{x}^4-(m^2+2)x^2+\frac{m^3+11m}{9}$ có đồ thị $(C)$ và hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C^{\prime })$ cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. Biết rằng hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $(C)$ và $(C^{\prime })$ là hợp của ba hình phẳng $(H_1),(H_2),(H_3)$ có diện tích tương ứng là $S_1,S_2,S_3$ trong đó $0<S_1\le S_2\le S_3$ và các hình phẳng $(H_1),(H_2),(H_3)$ đôi một giao nhau tại không quá một điểm. Gọi $T$ là tập hợp các giá trị của $m$ sao cho $S_3=S_1+S_2$. Tính tổng bình phương các phần tử của $T$.

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x^2+3,y=4x$. Xác định mệnh đề đúng?

Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm $O$, phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật $ABCD$; hình vuông $MNPQ$ có cạnh $MN=2\text{ m}$ và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh $O$ như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là $300.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và phần còn lại là $250.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

Trong hình bên là một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô đậm) dát vàng. Phần này được thiết kế như sau:
- Vẽ hình lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ và có cạnh bằng $4\text{ cm}$;
- Vẽ parabol $(C_1)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OA,OB$ lần lượt tại $A$ và $B$;
- Tương tự vẽ parabol $(C_2)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OB,OC$ lần lượt tại $B$ và $C$; parabol $(C_3)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OC,OD$ lần lượt tại $C$ và $D$; $\dots$; parabol $(C_6)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OF,OA$ lần lượt tại $F$ và $A$.

Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi sáu parabol $(C_1),(C_2),(C_3),(C_4),(C_5),(C_6)$ (phần tô đậm) là phần sẽ được dát vàng. Hỏi phần dát vàng này có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?