Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;0;1)$ và $N(3;2;-1)$. Đường thẳng $MN$ có phương trình tham số là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}$. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của $d$ ?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+3}{2}$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$ ?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có hai vecto pháp tuyến là ${\vec{n}}_P$ và ${\vec{n}}_Q$ . Biết góc giữa hai vecto ${\vec{n}}_P$ và ${\vec{n}}_Q$ bằng $120^{\circ }$. Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):4x+3y-z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{3}=\frac{z+4}{1}$, sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;3;4)$ và $I(1;2;3)$. Phương trình mặt cầu tâm $A$ và đi qua $I$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0$ có tâm $I$ và bán kính $R$ lần lượt là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=1+2t\\ z=-1+t\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=-1+s\\ y=2-s\\ z=3+2s\end{array}$

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+y+z-4=0$ và hai điểm $A(-1;0;1),B(1;-2;3)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Biết rằng $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2e^{2x}+e^x-3}{e^x}dx=\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$ (với $m,n,p\in \mathbb{Z}$). Khi đó $m+2n-p$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Một cổng có hình dạng như hình vẽ với viền ngoài và trong là hai đường cong dạng parabol cùng trục đối xứng (tham khảo hình vẽ dưới đây).



Nhà trường dự định sơn mặt ngoài cổng (phần tô đậm) với chi phí nhân công là 30.000 đồng/m². Tính số tiền nhà trường trả cho nhân công (đơn vị: nghìn đồng)

Trong không gian $Oxyz$ , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$ , đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí $A(-500;-250;150),B(-200;-200;100)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là $(a;b;c)$. Giá trị của biểu thức $-3a-b-c$ là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Trong khối pha lê hình lập phương cạnh 10 cm có mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương một khoảng 1 cm. Phương trình mặt cầu bên trong khối pha lê có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ . Tính giá trị của $a+b+c-d$ ?

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S=\frac{32}{3}$ . Tính tích phân $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx$ .

Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian $Oxyz$ như Hình. Viết phương trình tham số của làn đường $d$ đi qua hai điểm $M(4;3;20)$ và $N(4;1000;20)$ .

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ $Oxyz$ để theo dõi vị trí của quả bóng $M$ . Cho biết $M$ đang nằm trên mặt sân có phương trình $z=0$ , đồng thời thuộc mặt cầu $(S):(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(z-10{)}^2=109$ (đơn vị độ dài tính theo mét).



a) Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $J$ của tâm $I$ trên mặt sàn.

c) Tính khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$.