Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+3t\\ z=2-t\end{array}$. Điểm nào dưới đây thuộc $\Delta$ ?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $I(2;4;-1)$ và $A(0;2;3)$. Phương trình mặt cầu có tâm $I$ và đi qua điểm $A$ là

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-7}{5}$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $\Delta$?

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai mặt phẳng $(P):x+y-z-11=0$ và $(P):2x+2y-2z+7=0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-y+3=0$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0$ là phương trình của một mặt cầu.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;-3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0)$. Phương trình của $(S)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(0;-1;0)$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$ và $d_2:\frac{x+1}{4}=\frac{y}{4}=\frac{z+2}{1}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):3x+y+z-17=0$ tại điểm $H$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Cho $g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt,(0\le x\le 7)$ trong đó $f(t)$ là hàm số có đồ thị như hình. Tính $g(3)$.

Tại một nhà máy, gọi $C(x)$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất $x$ tấn sản phẩm $A$ trong một tháng. Khi đó, đạo hàm $C^{\prime }(x)$, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $$C^{\prime }(x)=5-0,06x+0,00072x^2,0\le x\le 150.$$ Biết rằng $C(0)=30$ triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm $A(-2;1;5)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(0;-2;6)$ với tốc độ là 4 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$. Gọi tọa độ của điểm $M(a;b;c)$. Tính $a+3b+c$.

Một công ty sản xuất đèn LED trang trí cho các lễ hội. Một trong những sản phẩm mới là một đèn LED hình cầu với các dây đèn nằm đều bên trong. Để đảm bảo ánh sáng tỏa ra đều từ mọi hướng, tâm của đèn LED cần được đặt đúng tại vị trí của tâm hình cầu. Giả sử một quả cầu đèn LED có phương trình mặt cầu là: $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=49$. Một bóng đèn nhỏ nằm tại điểm $(4;7;-2)$. Tính khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu đèn LED.

Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f^{\prime }(x)=2x-6e^{-2x}$ và $f(0)=-2$.

Trong không gian $Oxyz$, một người ở trong một căn phòng, mắt người đặt tại vị trí $A(1;2;3)$, nhìn ra ngoài khu vườn qua một khung cửa sổ có dạng hình tròn tâm $O(0;0;0)$, bán kính 2 và thuộc mặt phẳng $(Oyz)$. Hỏi qua khung cửa sổ, người đó có nhìn thấy bông hoa ở vị trí $M(-2;1;1)$ hay không?

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngọn hải đăng có bóng đèn đặt tại điểm $I(20;40;60)$.



a) Cho biết bán kính phủ sáng của đèn trên hải đăng là 3 km, viết phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của hải đăng trong không gian.

b) Một người đi biển đang ở vị trí $M(420;340;0)$. Người đó có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng hay không? Giải thích.