Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+3t\\ z=2t\end{array}$, điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng $\Delta$ ?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(2;0;-1)$ và vuông góc mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ với $A(1;1;2)$ và $B(-4;3;-2)$ là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=2+3t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-y-2z+4=0$ bằng (kết quả làm tròn đến độ).

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$ và $(Q):x+y+z-1=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$. Xác định toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Phương trình mặt cầu có tâm $I(-1;2;-3)$, bán kính $R=3$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;7)$, $B(-3;8;-1)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+3z-1=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\\ z=-3+2t\end{array}$ và hai điểm $M(1;1;2),N(-2;3;-2)$

Một người đang lái xe ô tô với vận tốc 24 (m/s) thì người lái phát hiện phía trước có chướng ngại vật nên cần giảm tốc độ của xe. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-8t+24$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn, ô tô di chuyển quãng đường bao nhiêu mét?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp đến điểm $B(550;-537;270)$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Khi cáp chuyển động đến điểm $M$ có cao độ 200m. Tính độ dài quãng đường $AM$.

Tính diện tích của phần bị gạch chéo hình vẽ dưới đây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí $I(21;35;50)$ và ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Nếu người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí $I(21;35;50)$ đến vị trí $D(5121;658;0)$. Hãy tìm vị trí cuối cùng trên đoạn $ID$ sao cho người đi biển có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng (kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai).

Tính tích phân $$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\cos x+\sin x\right)\mathrm{d}x$$

Một hộp quà có dạng hình hộp chữ nhật được gắn với hệ tọa độ $Oxyz$ như hình có đáy là hình vuông cạnh bằng 1 và chiều cao bằng 2 sao cho $O\equiv D_1,C_1\in Ox,A_1\in Oy,D\in Oz$.





a) Viết phương trình mặt phẳng $(C{B}_{1}D)$.

b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(C{B}_{1}D)$.

Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105 m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ là hướng tây, trục $Oy$ là hướng nam và trục $Oz$ là trục thẳng đứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là kilômét).



Một máy bay đang ở vị trí $A$ cách mặt đất 8 km, cách 268 km về phía đông, 185 km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(82;76;0)$ hướng về đài kiểm soát không lưu. Tìm khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.