Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$ tính theo công thức nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Chọn mệnh đề đúng.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;-1)$ là:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ và $f^{\prime }(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Chọn mệnh đề đúng.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình:

Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=x+3$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+4y+3z-5=0$. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng nào?

Cho $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Cho hai hàm số $f(x)=6x^5$ và $g(x)=-2.e^x$.

Cho hai hàm số $f(x)=2x$ và $g(x)=3.\cos x$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;5;-2);B(3;1;2)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-y+2z-1=0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho $\underset{-\frac{\pi }{3}}{\overset{\pi }{\int }}\left(\sqrt{2}\sin x-9\cos x\right)dx=\frac{a\sqrt{2}-b\sqrt{3}}{2};\left(a;b\in \mathbb{Z}\right)$. Tính $P=a.b$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4$, trục hoành và các đường thẳng $x=-2,x=3$ (Hình).

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành bởi các đường thẳng $y=\sin x;x=0;x=\frac{\pi }{2}$ quay quanh trục $Ox$. (Làm tròn đến hàng phần chục)

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$ (cm) $(0\le x\le 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left(10+\sqrt{x}\right)$ (cm). Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?

Hai đứa trẻ đang chơi với một quả bóng. Bé gái ném quả bóng cho bé trai. Quả bóng di chuyển trong không khí, uốn cong $3m$ về bên phải và rơi cách bé gái $5m$ (xem hình sau).



Biết mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất và phương trình tổng quát của nó có dạng $ax-3y+c=0$. Tính $a+c$?

Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ trong căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AB=50(m)$, $AD=35(m)$, $A{A}^{\prime }=10(m)$. Người chơi có nhiệm vụ từ điểm ngắm đã đặt bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 02).