Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ trong căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AB=50(m)$, $AD=35(m)$, $A{A}^{\prime }=10(m)$. Người chơi có nhiệm vụ từ điểm ngắm đã đặt bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 02).

Đáp án: 9,44.
Lời giải chi tiết:



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có $B^{\prime }(0;50;10)$, $D^{\prime }(35;0;10)$, $C(35;50;0)$ và $O(17,5;25;0)$
Mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nhận $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(-35;0;10)$ và $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;-50;10)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nhận $\vec{n}=\left[\overrightarrow{C{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{D}^{\prime }}\right]=(500;350;1750)$ làm vectơ pháp tuyến
Mặt khác, $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ qua $C(35;50;0)$ nên có phương trình $50x+35y+175z-3500=0$
Do mục tiêu di động trên mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu chính là khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$
Ta có $d\left(O;(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })\right)=\frac{\left|50.17,5+35.25+175.0-3500\right|}{\sqrt{35^2+50^2+175^2}}\approx 9,44(m)$
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu là khoảng $9,44$ mét.