Cho $\underset{-\frac{\pi }{3}}{\overset{\pi }{\int }}\left(\sqrt{2}\sin x-9\cos x\right)dx=\frac{a\sqrt{2}-b\sqrt{3}}{2};\left(a;b\in \mathbb{Z}\right)$. Tính $P=a.b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức:

Giá trị của ${\int }_0^1(2x+1)dx$ bằng

Biết ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=9$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $f(x)=3x$ và $g(x)=3\cos x$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $\int \left[2f(x)+3g(x)\right]dx=3x^2+9\sin x+C$.
b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}g(x)dx=3$.
c) $\int \left[2f(x)-g(x)\right]dx=\frac{3x^2}{2}+3\sin x+C$.
d) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=0$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=x^2-3x+2$ và các đường thẳng $x=1;x=4$; trục $Ox$. (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa).



Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?