Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):2x-y-4z+7=0$. Vecto nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$?

Xét các hàm số $f(x),g(x)$ tùy ý, liên tục trên khoảng $K$ và $k$ là hằng số. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\underset{1}{\overset{6}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=9$, $\underset{4}{\overset{6}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-3$. Khi đó $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;1;3)$ và $B(1;-3;5)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn $[1;3]$ và $f(1)=-5$, $f(3)=-3$. Khi đó $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(3;2;-1)$, $B(1;-2;0)$, $C(2;1;-1)$ và mặt phẳng $(P):2x-3y+z-1=0$. Khi đó mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $f(x)=3x+2$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

Một xe máy đang chuyển động thẳng với vận tốc $11(\text{m/s})$ thì người lái xe giảm tốc độ và chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=11-t(\text{m/s})$, trong đó $t$ (đơn vị: giây) là thời gian tính từ lúc bắt đầu giảm tốc độ. (Khi gặp biển báo này, các phương tiện tham gia giao thông cần phải giảm tốc độ sao cho không quá 5 km/h ).

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;1;2),B(1;-2;1),C(3;2;1)$ và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+5=0$ .

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Tìm lợi nhuận khi bán được 100 sản phẩm đầu tiên (đơn vị: triệu đồng).

Một hợp tác xã nông nghiệp tại phường Kon Tum đang đóng gói một loại dưa hấu để xuất khẩu. Qua khảo sát, các quả dưa hấu trong lô hàng đều có hình dạng được mô phỏng là một khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol (P) với trục hoành, quay quanh trục hoành; cho biết (P) có đỉnh thuộc trục tung. Biết rằng mỗi quả dưa có chiều dài là 40cm và đường kính lớn nhất của thiết diện khối tròn xoay vuông góc với trục hoành là 30cm (tham khảo hình vẽ). Biết khối lượng riêng của dưa hấu là D= 1g/cm³ và đơn vị vận chuyển báo giá cước là 1000 đồng một kg. Hỏi nếu hợp tác xã vận chuyển 1000 quả dưa như trên thì tổng chi phí vận chuyển là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một chiếc thuyền máy di chuyển trong một vùng nước có mặt đáy phẳng nhưng hơi dốc lên. Các điểm $M(0;0;-50)$, $N(0;200;-30)$ và $P(30;0;-50)$ là các điểm thuộc mặt đáy. Trên thuyền có gắn một cảm biến do tiếng vọng và đặt tại điểm $A(20;70;0)$ trên mặt nước. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $A$ đến một điểm trên mặt đáy $(MNP)$ là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tính tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+3x^3-2026}{x}dx$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $M(1;1;2)$; cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho $\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$.