Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, điểm nào thuộc đường thẳng $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và $d_2:\frac{x+1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{1}$. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là $Q_1,Q_2,Q_3$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

Thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$ xung quanh trục $Ox$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$?

Thời gian đọc sách (theo phút) của các học sinh lớp $12A$ trong một ngày được thống kê theo bảng số liệu ghép nhóm như sau



Khẳng định nào dưới đây đúng?

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 5m. Một ô tô $A$ đang chạy với vận tốc 16 m/s thì gặp ô tô $B$ đang dừng đèn đỏ nên ô tô $A$ hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_A(t)=16-4t$ (đơn vị tính bằng m/s, thời gian $t$ tính bằng giây).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3;1;9)$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-t\\ z=2+2t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có $S(0;0;3)$, $ABCD$ là hình chữ nhật với $A(0;0;0)$, $C(2;1;0)$ (Hình vẽ dưới).

Kết quả kiểm tra môn Toán (cùng một đề) của học sinh hai lớp $12A$ và $12B$ được cho lần lượt bởi mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 6, Bảng 7.



Bảng 6



Bảng 7

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi $P(x)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm $P^{\prime }(x)$, gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }(x)=16-0,02x,0\le x\le 100$.

Tính lợi nhuận nhà máy (theo triệu đồng) thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Để thực hiện dự án “Sức khỏe học đường”, bạn lớp trưởng lớp $12A$ đã khảo sát thời gian ngủ trung bình mỗi đêm của 42 bạn học sinh trong lớp. Kết quả được tổng hợp trong bảng sau:



Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

Biết $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{x+2}{x}dx=a+\ln b$ với $a,b\in \mathbb{R}$, khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu ?

Một công ty thuê thợ vẽ logo công ty như hình vẽ lên một bức tường lớn. Logo có dạng là một bông hoa có 6 cánh hoa giống nhau, sắp xếp cách đều như hình vẽ.



Để chính xác hóa kích thước và hình dạng như hình vẽ, mỗi cánh hoa được thiết kế như sau: Trong mặt phẳng Oxy (một đơn vị ứng với 1 mét trên thực tế), một cánh hoa được xem là một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba $y=\frac{(x-3{)}^3}{27}+1(C)$ và một đường parabol (P): $y=a{x}^2+bx+c$. Đồ thị (C) và (P) cắt nhau tại hai điểm $O(0;0)$, $M(6;2)$ và (P) đi qua điểm $N(3;0)$. Biết rằng chi phí vẽ logo nói trên được tính dựa trên mỗi mét vuông cánh hoa được vẽ, mỗi mét vuông được báo giá là 210 nghìn đồng. Hãy tính chi phí vẽ logo đó (đơn vị: nghìn đồng, làm tròn đến hàng đơn vị).

Một chiếc thuyền đang chuyển động đều với vận tốc 10 m/s theo hướng từ Nam lên Bắc trên mặt hồ. Trên cây cầu nằm cách mặt hồ 20m theo phương thẳng đứng, có một chiếc ô tô chuyển động đều với vận tốc 20m/s theo hướng từ Tây sang Đông.



Như hình vẽ, tại thời điểm hiện tại, thuyền ở vị trí cách điểm P (nằm dưới cầu) 40 m theo phương Nam, còn ô tô ở vị trí cách Q (trên cầu) 30 m theo phương Tây. (Bỏ qua kích thước của thuyền và ô tô; đoạn thẳng PQ luôn vuông góc với hướng chuyển động của cả thuyền và ô tô). Khi đó thuyền và ô tô gần nhau nhất là bao nhiêu mét ?

Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm $A(5;7;10)$ và $B(6;9;12)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm $C(15;17;5)$ và $D$ (điểm $D$ ở độ cao $26m$ so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn chạm với nhau tại vị trí cách điểm $A$ một khoảng $150m$ (hình vẽ).



Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)