Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Tìm lợi nhuận khi bán được 100 sản phẩm đầu tiên (đơn vị: triệu đồng).

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Gọi $M(t)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công công trình). Biết trong kinh tế xây dựng $M^{\prime }(t)=m(t)$ là số lượng công nhân được sử dụng tại ngày thứ $t$, giả sử $m(t)=100+12\sqrt{t}-2t$ (với $0\le t\le 100$). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Khi đun nước, nhiệt độ ban đầu của nước trong ấm là 20°C và tăng dần với tốc độ $T_1^{\prime }(t)=75e^{-t}$ (°C/phút), trong đó $t\ge 0$ (phút) là thời gian tính từ lúc bếp được bật lên. Khi nước trong ấm đạt 85°C thì bếp được tắt đi và nhiệt độ $T$°C của nước trong ấm khi này xác định theo công thức $T_2(t)=15+a{e}^{\frac{-t}{20}}$ với $t\ge 0$, trong đó $a$ là hằng số và $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc tắt bếp.

Kí hiệu $h(x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 3 m; trong các năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{2}}{x}$ (tính theo mét/năm). Chiều cao của cây đó sau 5 năm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Kí hiệu $h(x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 3 m; trong các năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{2}}{x}$ (tính theo mét/năm). Chiều cao của cây đó sau 5 năm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Thành phố X theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực A và B trong thời gian $6$ năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong $6$ năm, với đơn vị trên trục $Ot$ tính bằng năm, $t=0$ ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục $Oy$ biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.
Khu vực A có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_A^{\prime }(t)=-\frac{1}{2}{t}^2+2t+8$.
Khu vực B có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_B^{\prime }(t)=a-\frac{1}{2}t$.
Biết rằng $P_A(t),P_B(t)$ lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực A và B sau $t$ năm.

Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của $1700$ khán giả. Ban tổ chức đã thống kê được số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được mô tả bởi một hàm số liên tục trên $t\in [0;+\infty )$: $f^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}1700-400t,& 0\le t\le 2\\ a(t-2{)}^2+b,& t>2\end{array}$ (trong đó $f^{\prime }(t)$ là số khán giả, $t$ là số giờ kể từ khi chương trình bắt đầu, $a,b$ là tham số thực), với hàm số $f(t)$ mô tả tổng sự hiện diện của khán giả theo thời gian $t$. Sau $2$ giờ $30$ phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là $875$. Hỏi từ khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn bao nhiêu khán giả ở lại tham gia chương trình âm nhạc?