Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của $1700$ khán giả. Ban tổ chức đã thống kê được số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được mô tả bởi một hàm số liên tục trên $t\in [0;+\infty )$: $f^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}1700-400t,& 0\le t\le 2\\ a(t-2{)}^2+b,& t>2\end{array}$ (trong đó $f^{\prime }(t)$ là số khán giả, $t$ là số giờ kể từ khi chương trình bắt đầu, $a,b$ là tham số thực), với hàm số $f(t)$ mô tả tổng sự hiện diện của khán giả theo thời gian $t$. Sau $2$ giờ $30$ phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là $875$. Hỏi từ khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn bao nhiêu khán giả ở lại tham gia chương trình âm nhạc?

Vi nhựa (microplastics) là các hạt nhựa có kích thước rất nhỏ, có thể xâm nhập vào cơ thể người qua nhiều con đường như thực phẩm, nước uống và không khí. Nhiều chuyên gia cảnh báo rằng việc phơi nhiễm vi nhựa kéo dài có thể làm tăng nguy cơ suy giảm sức khỏe và rút ngắn tuổi thọ. Giả sử kể từ thời điểm người đó tròn $20$ tuổi, tốc độ xâm nhập của vi nhựa vào cơ thể (tính theo thời gian sống sau tuổi $20$) được mô hình hóa bởi hàm số $m(t)=2t+4\sqrt{t}+100$ ($0\le t\le 30$, đơn vị: microgram/năm), trong đó $t$ là số năm kể từ khi người đó tròn $20$ tuổi, còn $m(t)$ là tốc độ xâm nhập của vi nhựa vào cơ thể tại thời điểm $t$.
Gọi $M(t)$ (đơn vị: microgram) là tổng lượng vi nhựa đã tích lũy trong cơ thể người đó tại thời điểm $t$ năm sau $20$ tuổi. Biết rằng $M^{\prime }(t)=m(t)$ và tại thời điểm người đó vừa tròn $20$ tuổi cơ thể đã tích lũy sẵn $800$ microgram vi nhựa.

Giả sử dân số Việt Nam được dự báo theo mô hình logistic, giai đoạn từ năm $2023$ đến hết năm $2035$ là hàm số $P(t)=\frac{120}{1+0,2e^{-0,06t}}$ (triệu người), trong đó $t$ là số năm tính từ đầu năm $2023$. Chi phí an sinh xã hội bình quân theo đầu người được mô hình hóa bởi hàm số $C(t)=25-20e^{-0,05t}$ (triệu đồng/đầu người/năm). Tính tốc độ thay đổi của tổng chi phí an sinh xã hội toàn quốc (nghìn tỷ đồng/năm) vào đầu năm $2030$. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Tốc độ thay đổi dòng tiền (triệu đồng/tháng) của một dự án khởi nghiệp được mô tả bởi hàm số $f(t)=t^2+at+b$, với $t$ là số tháng tính từ lúc bắt đầu ($t=0$). Tại tháng thứ $3$ ($t=3$), tốc độ dòng tiền bằng $0$. Biết rằng sau $3$ tháng đầu tiên, tổng dòng tiền tích lũy của dự án quay về mức $0$ (hòa vốn tạm thời), và trong giai đoạn dự án bị thâm hụt tốc độ dòng tiền không dương.

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

Tốc độ tăng cân nặng của một bé gái trong độ tuổi từ 0 tháng đến 36 tháng được ước tính bởi hàm số $f^{\prime }(t)=0,00093t^2-0,04792t+0,76806\text{ (kg/thaˊng)}$, với $f(t)$ là cân nặng của bé gái lúc $t$ tháng tuổi (Nguồn: http://www.vinmec.com). Hãy ước tính cân nặng của một bé gái 5 tháng tuổi, biết cân nặng của bé gái đó khi mới sinh là $3,3\text{ kg}$ (đơn vị: kg, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số $B^{\prime }(t)=20t^3-300t^2+1000t$, trong đó $t$ tính bằng giờ ($0\le t\le 15$), $B^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. Sau hai giờ, $1375$ người đã có mặt tại lễ hội. Gọi $B(t)$ (tính bằng khách) là số lượng khách tới tham dự lễ hội sau $t$ giờ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).