Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S=\frac{32}{3}$ . Tính tích phân $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx$ .

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(1;3)$ và $(5;7)$, nên $d:y=x+2$. Trên đoạn $[1;5]$, đường thẳng $d$ nằm phía trên $(P)$ (theo hình, parabol nằm dưới dây cung). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ là:
$$S=\underset{1}{\overset{5}{\int }}[(x+2)-f(x)]dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx.$$
Tính: $\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_1^5=\left(\frac{25}{2}+10\right)-\left(\frac{1}{2}+2\right)=\frac{45}{2}-\frac{5}{2}=20.$
Suy ra $\frac{32}{3}=20-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx$, nên $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=20-\frac{32}{3}=\frac{28}{3}$.