Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có hai vecto pháp tuyến là ${\vec{n}}_P$ và ${\vec{n}}_Q$ . Biết góc giữa hai vecto ${\vec{n}}_P$ và ${\vec{n}}_Q$ bằng $120^{\circ }$. Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$ và $(Q):x+y+z-1=0$ bằng

Tìm giá trị của m để 2 mp (P): $(2m-1)x-3my+2z+3=0$ và (Q): $mx+(m-1)y+4z-5=0$ vuông góc với nhau?

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (P): $x+y–z–11=0$ và (Q): $2x+2y–2z+7=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét), mặt phẳng $(Oxy)$ biểu diễn mặt đất. Một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng có dạng tam giác $ABC$ được lắp đặt sao cho hai đỉnh $A(2;0;0)$ và $B(0;4;0)$ nằm cố định trên mặt đất, đỉnh $C$ được chống cao lên khỏi mặt đất bởi một cột đỡ thẳng đứng $OC$ (tức là $C$ nằm trên phần dương của trục $Oz$). Để tấm pin đạt hiệu suất hấp thụ quang năng tốt nhất, kỹ sư đã điều chỉnh cột đỡ sao cho góc nghiêng của tấm pin (góc giữa mặt phẳng chứa tấm pin và mặt đất) là $45^{\circ }$. Diện tích bề mặt của tấm pin năng lượng mặt trời đó là $a\sqrt{b}{m}^2.\left(a,b\in \mathbb{N};b\le 3\right)$ Hỏi giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí $A,B,C$ ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ $(2;0;4)$, $(4;0;3)$ và $(4;9;3)$. Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng $\alpha$ độ. Khi đó, giá trị của $\alpha$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có mặt $ABCD$ là hình vuông, $A{A}^{\prime }=\frac{AB\sqrt{6}}{2}$. Tính góc (đơn vị độ) giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$.