Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có mặt $ABCD$ là hình vuông, $A{A}^{\prime }=\frac{AB\sqrt{6}}{2}$. Tính góc (đơn vị độ) giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $AB=a$, thì $A{A}^{\prime }=h=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ nên $h^2=\frac{3a^2}{2}$. Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;h)$, $C^{\prime }(a;a;h)$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$: $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a;0;h)$, nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(ah;ah;a^2)\sim (h;h;a)$.

Mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;a;h)$, nên $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(ah;ah;-a^2)\sim (h;h;-a)$.

Hai pháp tuyến cùng độ dài $\sqrt{2h^2+a^2}$, do đó:
$$\cos \theta =\frac{|h^2+h^2-a^2|}{2h^2+a^2}=\frac{|3a^2-a^2|}{3a^2+a^2}=\frac{2a^2}{4a^2}=\frac{1}{2}.$$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$ bằng $60^{\circ }$.