Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ bằng 4. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=2x$, $SO=h$. Hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$ (d đúng). Thiết lập tọa độ $O(0;0;0)$, $A(x;x;0)$, $B(-x;x;0)$, $C(-x;-x;0)$, $D(x;-x;0)$, $S(0;0;h)$. a) $\mathrm{d}(AB,SC)=\frac{2xh}{\sqrt{h^2+x^2}}=4\Rightarrow h^2(x^2-4)=4x^2\Rightarrow h=SO=\frac{2x}{\sqrt{x^2-4}}$ với $x>2$ — đúng. b) Vì $CD\parallel AB$ nên $\mathrm{d}(AB,SC)=\mathrm{d}(AB,(SDC))=\mathrm{d}(O,(SDC))=\frac{hx}{\sqrt{h^2+x^2}}$. Từ a) $\sqrt{h^2+x^2}=\frac{xh}{2}$ nên $\mathrm{d}(O,(SDC))=2\ne 4$ — sai. c) $V=\frac{1}{3}\cdot (2x{)}^{2}h=\frac{8x^3}{3\sqrt{x^2-4}}$. Xét $f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-4}}$, $f^{\prime }(x)=\frac{x^2(2x^2-12)}{(x^2-4{)}^{3/2}}=0\Rightarrow x=\sqrt{6}$, $f(\sqrt{6})=6\sqrt{3}$, $V_{\max }=\frac{8\cdot 6\sqrt{3}}{3}=16\sqrt{3}$ — đúng. d) Đúng theo định nghĩa hình chóp đều.
a) Từ $\mathrm{d}(AB,SC)=\frac{2xh}{\sqrt{h^2+x^2}}=4$ suy ra $h^2(x^2-4)=4x^2$, tức $SO=h=\frac{2x}{\sqrt{x^2-4}}$ với $x>2$.
b) $\mathrm{d}(O,(SDC))=\frac{hx}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{hx}{xh/2}=2\ne 4$.
c) $V=\frac{8x^3}{3\sqrt{x^2-4}}$ đạt max tại $x=\sqrt{6}$, $V_{\max }=16\sqrt{3}$.
d) Trong hình chóp tứ giác đều, đường cao $SO$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$.