Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh bên bằng $SA=200m$, $\widehat{ASB}=15^{\circ }$ bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp $AEFGHIJKLS$. Trong đó, điểm L cố định và $LS=40m$. Hỏi, khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí (làm tròn đến hàng đơn vị)?

(AI giải đề cho tôi)
Trải bốn mặt bên của hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ ra một mặt phẳng. Mỗi mặt bên là tam giác với góc ở đỉnh $S$ bằng $\widehat{ASB}=15^{\circ }$, nên tổng góc quét quanh $S$ sau khi đi hết một vòng quanh kim tự tháp là $4\cdot 15^{\circ }=60^{\circ }$.

Trong mặt phẳng trải, điểm $A$ nằm trên tia đầu với $SA=200$ m; ảnh $L^{\prime }$ của điểm $L$ sau khi vòng hết một vòng nằm trên tia hợp với tia đầu góc $60^{\circ }$ và $S{L}^{\prime }=40$ m. Đường gấp khúc dây đèn ngắn nhất tương ứng với đoạn thẳng nối $A$ và $L^{\prime }$ trong hình trải.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $SA{L}^{\prime }$:
$$A{L}^{\prime }=\sqrt{200^2+40^2-2\cdot 200\cdot 40\cdot \cos 60^{\circ }}=\sqrt{40000+1600-8000}=\sqrt{33600}=40\sqrt{21}\approx 183,30\text{ m}.$$

Kiểm tra: khoảng cách từ $S$ đến đoạn $A{L}^{\prime }$ khoảng 37,8 m > 0 và nhỏ hơn các cạnh, nên đoạn thẳng nằm gọn trong vùng các mặt bên đã trải, cách làm hợp lệ.

Vậy cần dùng ít nhất khoảng 183 m dây đèn led (làm tròn đến hàng đơn vị).